Geometria Analitica: la retta (I° parte)

Studio di uno degli argomenti più importanti di geometria analitica: la retta. Spiegazioni con grafici ed esempi

di Redazione Studenti 17 marzo 2006
Argomenti trattati:
Geometria Analitica: Generalità introduttive

LA RETTA
:
L'equazione di una retta in forma esplicita: -L'equazione della retta passante per l'origine - L'equazione della retta non passante per l'origine - L'equazione di una retta in forma implicita - Relazioni tra rette - Condizione di perpendicolarità tra rette - Fasci di rette
Le coniche: CIRCONFERENZA - PARABOLA - IPERBOLE -ELLISSE



Generalità Introduttive
L'obiettivo della geometria analitica è quello di classificare e rappresentare rette, curve, enti geometrici in genere che soddisfano certe condizioni.
Ad ogni fatto geometrico corrisponde un fatto algebrico e ad ogni fatto algebrico corrisponde un fatto geometrico. Ciò significa che ad ogni punto, ad ogni retta, ad ogni curva, in sostanza a tutto ciò che si può rappresentare graficamente all'interno di assi cartesiani, corrisponde sempre e comunque una rappresentazione algebrica (coppia di numeri, equazione, etc...) che cambia ovviamente a seconda di ciò che si rappresenta.
Il primo a enunciare questo principio fu il francese Cartesio che disse che, tracciate due rette incidenti non necessariamente perpendicolari e individuato un punto P, se numeriamo le due rette e congiungiamo il punto a entrambe troviamo due valori, quello che troviamo sulla retta che va in senso verticale lo chiamiamo y0 e quello che troviamo sulla retta che va in senso orizzontale lo chiamiamo x0.
Quindi partendo da un entità geometrica (punto) abbiamo individuato 2 numeri, abbiamo cioè individuato il fatto algebrico (numeri) corrispondente al fatto geometrico (punto). Quanto appena esposto è valido per ogni entità algebrica. Per chiarire meglio quanto esposto in merito alla teoria di Cartesio, guardate la figura che segue:

In virtù di quanto detto, possiamo concludere che essendo le curve e le rette entità geometriche rappresentabili in assi cartesiani, ad ogni curva e ad ogni retta corrisponde un'equazione algebrica, ma come vedremo non sempre ad un'equazione algebrica corrisponde una curva o, meglio, capita spesso che sia necessario fissare delle condizioni affinchè ciò possa avvenire. Dire che una curva corrisponde a un'equazione significa che se prendiamo le coordinate x e y di un punto che appartiene alla curva e le sostituiamo alle incognite x e y dell'equazione che la rappresenta, vediamo che l'equazione che corrisponde alla curva si trasforma in identità, cioè ciò che sta a sinistra dell'uguale è uguale a ciò che sta a destra. Le equazioni corrispondenti a un fatto geometrico possono essere fornite in due forme:
- forma esplicita, ad esempio y=3x+5 (una delle due variabili è posta a sinistra dell'uguale ed è "esplicitata" in funzione dell'altra variabile; in generale, y=f(x));
- forma implicita, ad esempio x 2 +y 2 -5=0 (tutto a sinistra dell'uguale, nessuna variabile è esplicitata; in generale: f(x,y)=0).





LA RETTA
Il primo obiettivo da raggiungere a proposito della retta è quello di individuare qual è la sua equazione corrispondente.
EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA ESPLICITA


L'equazione della retta passante per l'origine
Si consideri la seguente figura: Osserviamo che l'angolo a è comune ai due triangoli disegnati, che hanno anche un altro angolo certamente uguale, cioè quello che si forma dall'intersezione del cateto opposto ad a con l'asse delle ascisse (x), infatti questo angolo è retto in entrambi i triangoli. Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo necessariamente 180°, è ovvio che se questi triangoli hanno due angoli uguali, anche il terzo dovrà esserlo. Quindi i due triangoli hanno tutti gli angoli uguali, si dice cioè che sono triangoli simili.
Caratteristica importante dei triangoli simili è che il rapporto tra i lati omologhi è costante, cioè, nel nostro caso: y1: x1 = y2: x2: Questo rapporto sempre costante tra il cateto verticale e quello orizzontale, cioè tra y e x, lo chiamiamo m: y/x = m.
Da cui si ricava:

y=mx e proprio questa è l' equazione della retta passante per l'origine: y=mx.

Questa equazione però non può essere usata per la retta passante per l'origine coincidente con l'asse delle ordinate (y). Vediamo perché. In questo caso la coordinata x (l'ascissa) di ogni punto della retta sarebbe 0, la coordinata y sarebbe un numero reale qualsiasi, quindi il rapporto tra y e x non si può fare (il denominatore è nullo). Quindi, la retta coincidente con l'asse delle ordinate non può essere rappresentata dall'equazione appena vista. Ma facciamo un passo indietro.
Abbiamo appurato che a questa categoria di rette (cioè alle rette che passano per l'origine e non coincidono con l'asse y) corrisponde l'equazione y=mx. Quindi certamente se per ogni punto che sta sulla retta, sostituiamo le sue coordinate all'equazione otteniamo un'identità: ovvero, tutti i punti che stanno sulla retta "soddisfano" l'equazione. Si può anche dimostrare il viceversa, cioè che data l'equazione y=mx, solo i punti che stanno sulla retta la soddisfano.
In conclusione, c'è corrispondenza biunivoca tra la retta e l'equazione y=mx: la retta è rappresentata dall'equazione e nessuna coppia di valori rappresentanti punti esterni alla retta può soddisfare l'equazione.

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Commenti

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corey88 lunedì, 1 novembre 2010

Accessibilità

Sarebbe il caso, a mio avviso, di rendere la materia più accessibile. Nel senso che oltre alla parte teorica si dovrebbe inserire qualche esempio pratico (con numeri ecc.) anche complesso così da rendere più semplice e comprensibile la teoria. Pensiamoci....

n° 15
sara venerdì, 28 maggio 2010

geo analitica

fra 4 ore ho compito e non so far un cazzo!!!sono nella merda fino al collo!!!!HHEEEEEEELP!!!!!!!!

n° 14
esu venerdì, 28 maggio 2010

R: geo analitica

> fra 4 ore ho compito e non so far un @#?*%$o!!!sono nella @#?*%$a fino al collo!!!!HHEEEEEEELP!!!!!!!!

Siamo in Inghilterra/America? Questo è un sito in lingua inglese?? E allora perché cazzo di merda dici "help" invece di "aiuto"!!!???!!!

a giovedì, 15 dicembre 2011

R: R: geo analitica

ma vai a cagare và

bi giovedì, 15 dicembre 2011

R: R: R: geo analitica

> ma vai a cagare và

"và"...TSK

ascanio giovedì, 4 febbraio 2010

come farò

sono fottuto

n° 13
abababa giovedì, 14 novembre 2013

R: come farò

cazzo anche io D:

Davide martedì, 2 febbraio 2010

3 media

io ho capito solo che nella forma implicita c'e l'uguale dopo e in quella esplicita c'e l'uguale prima

n° 12
the game sabato, 4 febbraio 2012

):rassegnata

non c'è niente da fare ragazzi.... la matematica è una merda!!! Dominerà il mondo!!! ma non possiamo opporci ?? perchè dobbiamo spaccarci in 100 per capirla tutte le voltè?!!!!!!!!!!!!!!!!

Golia sabato, 4 febbraio 2012

R: ):rassegnata

> non c'è niente da fare ragazzi.... la matematica è una merda!!! Dominerà il mondo!!! ma non possiamo opporci ?? perchè dobbiamo spaccarci in 100 per capirla tutte le voltè?!!!!!!!!!!!!!!!!

...ma va' a cagare, analfabeta; prova a capire pria un po' più d'Italiano...

paolo martedì, 12 gennaio 2010

aiuto

sono spacciato

n° 11
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