Equazioni Esponenziali: terza parte

Vediamo alcuni Esempi.


Risolviamola passo passo.

Si noti che se ad esponente si ha 2x, quando si passa ai logaritmi si pone: 2x=log3 (3/7).
Infine, per determinare x, basta dividere per 2 ad ambo i membri.

Quest'ultimo passaggio è quello si effettua nelle equazioni di primo grado: in effetti, nell'ultimo passaggio si ha proprio a che fare con un'equazione di primo grado.
Ricordatevi sempre che quello strano oggetto chiamato log3 (3/7) è un numero come tanti altri.

Utilizzando le proprietà delle potenze e sviluppando i calcoli otteniamo:

Dato che le basi sono uguali, possiamo uguagliare gli esponenti, ottenendo un'equazione di secondo grado che si risolve al solito modo.


Vediamone ancora uno.

Innanzitutto è necessario osservare che:

Pertanto, l'equazione assegnata si può scrivere come:

Il minimo comune denominatore è proprio 2^x e quindi:

Il denominatore lo possiamo tranquillamente eliminare (formalmente: moltiplicando ambo i membri per 2^x): anche se compare l'incognita, non è necessario imporre alcuna condizione (denominatore 0), perché, come abbiamo visto, l' esponenziale non assume mai il valore zero(2^x0, per ogni x).

Si ottiene pertanto:

Questo è un tipo di "struttura" che ricorre spesso negli esercizi sulle equazioni esponenziali.
Si riconosce una struttura ben nota: quella delle equazioni di secondo grado (dove l'incognita è 2^x).
Ponendo dunque =z, si ottiene la seguente equazione nella variabile z:

che si risolve nel modo abituale, ottenendo: z=2 e z=4

Ora bisogna tornare alla variabile x:
Basta ri-sostituire a queste ultime l'espressione di z: z=2^x.
Si ottiene: 2^x =2, da cui x=1; 2^x =4, da cui x=2
L'equazione data ha, quindi, due soluzioni: x=1 e x=2.

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