Equazioni Esponenziali: seconda parte

Argomenti trattati:
- Potenze con esponente reale
- Funzione Esponenziale
- Equazioni Esponenziali e Logaritmi

Un'equazione si dice esponenziale quando l'incognita compare soltanto nell'esponente di una o più potenze.
L'equazione esponenziale più semplice (elementare) è del tipo:
a^x= b

con a>0. x è l'incognita, come sempre.
Un'equazione esponenziale del tipo indicato sopra può essere impossibile (nessuna soluzione), può ammettere come soluzione ogni valore di x reale, o essere determinata (cioè ammettere un'unica soluzione).
Vediamo nel dettaglio questi primi casi elementari. Dall'ultimo, in particolare, discenderà la definizione di logaritmo.

- impossibile: se b0, oppure: a=1 e b1. Per esempio:2^x =-3 1^x=5

- verificata per ogni valore reale di x: se a=1 e b=1. Cioè: 1^x= 1
Come si vede, è una banale identità. Confronta anche con il grafico visto in precedenza (retta in verde).

- determinata: se a>0 (e 1) e b>0. Per esempio: 3^x = 5
Questo è il caso più generale. E ci permette di definire la nozione di logaritmo.

Definizione.
Si chiama logaritmo in baseadibl'unica soluzione dell'equazione esponenziale elementare nel caso determinato.
Esso è, quindi, l'esponente da assegnare alla base a per ottenere il numero (positivo) b.

Nell'equazione vista prima (3^x = 5), la soluzione (unica) è data da: x=log3 5, che si legge "logaritmo in base 3 di 5".
Generalmente, a questo punto sorge una domanda: "E quant'è questo valore?".
La cosa al momento ci interessa relativamente. Sicuramente è più grande di 1 e più piccolo di 2, perché 3¹ =3 e 3² =9. Se vogliamo saperlo esattamente, si può ricorrere a delle apposite tavole (dette appunto "tavole dei logaritmi") o utilizzare la calcolatrice.
Ma attenzione! In entrambi i casi (tavole o calcolatrice) è necessario applicare una proprietà dei logaritmi che renda possibile la consultazione delle tavole o il lavoro della calcolatrice. La vedremo in seguito.
Quello che è importante capire è che, nel momento in cui si scrive la soluzione dell'equazione sotto forma di logaritmo, si è risolta l'equazione.
E' un numero reale come tanti altri, non è necessario conoscere la sua espansione decimale (cosa peraltro impossibile, visto che, in generale, i logaritmi sono numeri decimali illimitati aperiodici).
Vediamo ora alcuni esempi di equazioni esponenziali.
2^x = 8
La soluzione è data da: x= log2 8. Questo numero, però, lo conosciamo bene: è 3. Infatti, l'esponente da dare a 2 per ottenere 8 è proprio 3.
In questo caso, molto semplice, si è trovato un numero intero come soluzione. Non sarà sempre così, chiaramente.
Vediamo un altro caso.

2^x =1/4
In questo caso, ricordandosi le proprietà delle potenze, si ottiene immediatamente: x=-2.
Infatti, elevando ad un esponente negativo bisogna fare la potenza (positiva) del reciproco.
In questo caso si ha: 2^-2 =(1/2) ² =1/4.
Come si vede, per risolvere queste equazioni, è necessario avere una certa familiarità con le proprietà delle potenze.

In generale, possiamo dare la seguente strategia per risolvere l'equazione elementare
a^x = b:
- se a e b si scrivono come potenze (razionali) della stessa base, si eguagliano gli esponenti.

E' quello che abbiamo visto finora.
Nel primo caso, 2^x =8, si può scrivere: 2^x =2³
E da questa, considerato che hanno le stesse basi i due membri dell'equazione, si eguagliano gli esponenti ottenendo x=3, come già visto.

- se a e b non si scrivono come potenze (razionali) della stessa base, le soluzioni si scrivono sotto forma di logaritmi.

Questo è il caso generale, di cui il precedente costituisce una particolarizzazione.
Ad esempio:
Nei casi più complessi, si ha che fare con esponenti in cui compaiono funzioni di x.
E può anche capitare di avere nella stessa espressione, non uno, ma più esponenziali.
Tenete presente che l'esponenziale va trattato come un monomio: se compaiono 2 ^x, 5·2 ^x e 3·4^x, i primi due si potranno sommare tra di loro (nel terminologia dei monomi si direbbe che sono simili) dando luogo a 6·2 ^x (il primo esponenziale ha coefficiente 1), mentre il terzo no, avendo una base diversa dai primi.
Analogamente, non si potranno sommare 5·2 ^x e 3·2 ^2x perché, pur avendo la stessa base, hanno esponenti diversi.
Alcuni Esempi

- Potenze con esponente reale - Funzione Esponenziale