Equazioni Esponenziali: prima parte

Argomenti trattati:
- Potenze con esponente reale
- Funzione Esponenziale
- Equazioni Esponenziali e Logaritmi


Potenze con esponente reale

La potenza a x è definita:
•  per ogni x R, se a>0
•  per x R +, se a=0
•  per x Z, se a<0

Si ricordi che:
R è l'insieme dei numeri reali;
R + denota i numeri reali strettamente positivi (quindi, lo zero è escluso);
Z denota l'insieme dei numeri interi (positivi e negativi, anche zero).

Pertanto, sono definite (e con la calcolatrice si può vedere che numero rappresentano) le seguenti:



Non sono, invece, definite:

Nota: su ci sono delle controversie sul valore che si potrebbe eventualmente attribuire per convenzione. Alcuni matematici propongono =1 per convenzione, ma non ci sono pareri concordi.

Quanto detto sopra, rimane comunque valido.

Casi particolari:
•  Se a=1: 1 x =1^x, per ogni x R;
•  Se x=0: a 0 =1⁰, per ogni aR+.



FUNZIONE ESPONENZIALE

Si chiama funzione esponenziale ogni funzione del tipo: y= a^x
con a>0 fissato, x R.
Il dominio della funzione, cioè l'insieme dei valori che si possono attribuire a x, è tutto R.

Il codominio, cioè l'insieme dei valori che la funzione assume, è R+. Questo significa che la funzione esponenziale è sempre strettamente positiva, ovvero che il suo grafico si trova al di sopra dell'asse x.
Circa il comportamento di questa funzione, si possono distinguere 3 casi, a seconda del segno della base a:

1) a >1: la funzione è crescente. Si veda il grafico in rosso.

2) a =1: la funzione è costante. Si veda il grafico in verde.

3) 0< a <1: la funzione è decrescente. Si veda il grafico in blu.

I seguenti grafici illustrano il comportamento della funzione esponenziale y=ax nei vari casi.



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