I sistemi di equazioni di primo grado - seconda parte

Studio dei metodi per lo svolgimento dei sistemi di equazioni di primo grado

di Redazione Studenti 17 marzo 2006
Argomenti trattati:
- Definizione - Metodo di Sostituzione - Metodo di Riduzione - Metodo del Confronto - Metodo di Cramer



Procediamo cercando di eliminare la x: il m.c.m. tra 12 e 15 è 60, perciò moltiplico
nel modo seguente: la prima equazione per 5 (il risultato della divisione tra 60 e 12) e la seconda equazione per -4 (il risultato della divisione tra 60 e 15, cambiato di segno).
In sostanza, si scrivono due equazioni equivalenti a quelle date, ma che presentano i coefficienti di una variabile uguali in valore assoluto ma di segno opposto, in modo di permetterne una facile eliminazione.
Naturalmente, se i coefficienti sono quelli "giusti" già dall'inizio, questo passaggio non serve.
Attenzione ai segni!! Moltiplichiamo la seconda equazione per -4 in modo da ottenere -60x, che andrà a semplificarsi, dopo aver sommato le due equazioni, con il +60x della prima equazione.
Avete molto margine di manovra in questo passaggio: potete decidere liberamente quale equazione moltiplicare per un coefficiente negativo (noi abbiamo scelto la seconda); l'importante è che lo facciate rispettando le regole! Moltiplicare per -4 un'equazione vuol dire moltiplicare per -4 tutti i termini che compaiono in quell'equazione.
Andiamo avanti, dunque:

Dopo la somma delle due equazioni, come si vede, rimane un'equazione nella sola variabile y che si risolve immediatamente. Alcuni professori esigono che si continuino a scrivere entrambe le equazioni nel sistema, copiando ad ogni passaggio in una riga una delle due equazioni (che tanto non viene utilizzata) e portando avanti i calcoli nella seconda riga (nel nostro caso, possiamo copiare 12x+y=9 e portiamo avanti 9y=-27).
Una volta ricavato un valore per la y, si sostituisce in una delle equazioni di partenza oppure si ripete il ragionamento di prima, riducendo la y. In questo caso, come si vede subito, non c'è bisogno di trovare nessun m.c.m.: è già tutto pronto per la riduzione. Riprendiamo il nostro sistema:

e riduciamo la y, sommando le due equazioni:

Il risultato finale è:



3) Metodo del confronto

E' una variante del metodo di sostituzione.
Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili, occorre esplicitare entrambe le equazioni rispetto alla stessa variabile ed uguagliarle.
Si ottiene così un'equazione in una sola incognita, facilmente risolvibile.
Il valore ottenuto si sostituisce in una delle due equazioni di partenza.
Il principio di base da ricordare quando si applica questo metodo è questo: se A=C e B=C, allora A e B devono essere uguali.
Ovvero, se A e B sono uguali alla stessa cosa, devono essere uguali tra loro!
Esempio svolto:

Come si vede, nel caso dei sistemi, si ottiene una cosa di questo tipo: y=A, y=B, quindi devo uguagliare A e B, cosa che si fa nel passaggio successivo:





4) Metodo di Cramer
Dopo aver posto il sistema nella forma canonica

chiamiamo delta, delta x, delta y, rispettivamente, le seguenti espressioni:


Le soluzioni si trovano con queste formule:

Dovrà essere necessariamente:

Se delta =0, allora il sistema è indeterminato o impossibile (dipende dalla relazione tra c e c'). Si fanno le stesse considerazioni che riguardano lo studio della posizione reciproca tra due rette.

Esempio:

Come si vede, il metodo di Cramer è molto veloce e puramente meccanico nella sua applicazione.

Caricamento in corso: attendere qualche istante...

8
Commenti

debora sabato, 7 agosto 2010

metodo di cramer

secondo me è più pratico il metodo di Cramer, riesco a svolgere meglio i sistemi con esso... gli altri li uso poche volte

n° 3
h domenica, 8 agosto 2010

R: metodo di cramer

> secondo me è più pratico il metodo di Cramer, riesco a svolgere meglio i sistemi con esso... gli altri li uso poche volte
Kramer CONTRO Cramer
THE WINNER IS
Cramer
XD

ftr mercoledì, 1 novembre 2006

sistemi

wydgdfgf

n° 2
alessia giovedì, 6 agosto 2009

Re: sistemi

-1/2(x-1/3)-x+2/3=1/3(x-1/2)+1-x/6

vally venerdì, 2 marzo 2007

Re: sistemi

> wydgdfgf
forse bisognerebbe usare elementi di esempio piu pretici

manu venerdì, 1 settembre 2006

metodo di cramer e matrici

Il metodo di Cramer penso sia troppo avanzato e poco "apprezzabile" da studenti di 14-15 anni..
Per fare una trattazione sistematica bisognerebbe introdurre le matrici e n po' di algebra lineare..

n° 1
nicola mercoledì, 18 giugno 2008

Re: metodo di cramer e matrici

Secondo me invece è un metodo velocissimo che ti permette di risolvere il sistema con molte meno possibilità di errori.
Anche i ragazzi di 14-16anni lo apprezzerebbero se spiegato con la giusta attenzione

> Il metodo di Cramer penso sia troppo avanzato e
> poco "apprezzabile" da studenti di 14-15 anni..
> Per fare una trattazione sistematica bisognerebbe
> introdurre le matrici e n po' di algebra lineare..

MemY domenica, 30 agosto 2009

Re: metodo di cramer e matrici

sono d'accordo co nicola, il metodo di cramer è quello più veloce e "facile" dato ke per svolgerlo bisogna utilizzare sempre delle formule standard...è il metodo cn il quale mi trovo meglio...

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