I sistemi di equazioni di primo grado (parte II)

Sistemi di equazioni di primo grado: studio dei metodi per il loro svolgimento

di Redazione Studenti 11 novembre 2015


SISTEMI DI EQUAZIONE DI PRIMO GRADO -
Sei prossimo ad un compito di matematica sui sistemi di equazione di primo grado e della lezione della professoressa hai capito poco e nulla? Non temere: ti aiutiamo noi! Ecco per te una dettagliata spiegazione per non farti cogliere impreparato! Guarda anche la prima parte della lezione.


Da non perdere: Matematica: spiegazioni ed esercizi svolti online



Procediamo cercando di eliminare la x: il m.c.m. tra 12 e 15 è 60, perciò moltiplico
nel modo seguente: la prima equazione per 5 (il risultato della divisione tra 60 e 12) e la seconda equazione per -4 (il risultato della divisione tra 60 e 15, cambiato di segno).
In sostanza, si scrivono due equazioni equivalenti a quelle date, ma che presentano i coefficienti di una variabile uguali in valore assoluto ma di segno opposto, in modo di permetterne una facile eliminazione.
Naturalmente, se i coefficienti sono quelli "giusti" già dall'inizio, questo passaggio non serve.
Attenzione ai segni!! Moltiplichiamo la seconda equazione per -4 in modo da ottenere -60x, che andrà a semplificarsi, dopo aver sommato le due equazioni, con il +60x della prima equazione.
Avete molto margine di manovra in questo passaggio: potete decidere liberamente quale equazione moltiplicare per un coefficiente negativo (noi abbiamo scelto la seconda); l'importante è che lo facciate rispettando le regole! Moltiplicare per -4 un'equazione vuol dire moltiplicare per -4 tutti i termini che compaiono in quell'equazione.
Andiamo avanti, dunque:

Dopo la somma delle due equazioni, come si vede, rimane un'equazione nella sola variabile y che si risolve immediatamente. Alcuni professori esigono che si continuino a scrivere entrambe le equazioni nel sistema, copiando ad ogni passaggio in una riga una delle due equazioni (che tanto non viene utilizzata) e portando avanti i calcoli nella seconda riga (nel nostro caso, possiamo copiare 12x+y=9 e portiamo avanti 9y=-27).
Una volta ricavato un valore per la y, si sostituisce in una delle equazioni di partenza oppure si ripete il ragionamento di prima, riducendo la y. In questo caso, come si vede subito, non c'è bisogno di trovare nessun m.c.m.: è già tutto pronto per la riduzione. Riprendiamo il nostro sistema:

e riduciamo la y, sommando le due equazioni:

Il risultato finale è:



3) Metodo del confronto

E' una variante del metodo di sostituzione.
Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili, occorre esplicitare entrambe le equazioni rispetto alla stessa variabile ed uguagliarle.
Si ottiene così un'equazione in una sola incognita, facilmente risolvibile.
Il valore ottenuto si sostituisce in una delle due equazioni di partenza.
Il principio di base da ricordare quando si applica questo metodo è questo: se A=C e B=C, allora A e B devono essere uguali.
Ovvero, se A e B sono uguali alla stessa cosa, devono essere uguali tra loro!
Esempio svolto:

Come si vede, nel caso dei sistemi, si ottiene una cosa di questo tipo: y=A, y=B, quindi devo uguagliare A e B, cosa che si fa nel passaggio successivo:





4) Metodo di Cramer
Dopo aver posto il sistema nella forma canonica

chiamiamo delta, delta x, delta y, rispettivamente, le seguenti espressioni:


Le soluzioni si trovano con queste formule:

Dovrà essere necessariamente:

Se delta =0, allora il sistema è indeterminato o impossibile (dipende dalla relazione tra c e c'). Si fanno le stesse considerazioni che riguardano lo studio della posizione reciproca tra due rette.

Esempio:

Come si vede, il metodo di Cramer è molto veloce e puramente meccanico nella sua applicazione.

Altri argomenti trattati:
- Definizione
- Metodo di Sostituzione
- Metodo di Riduzione
- Metodo del Confronto
- Metodo di Cramer

Ti è piaciuto questo articolo? Vuoi rimanere sempre aggiornato?

Seguici su Facebook Seguici su Twitter
Pagina generata il 2016.08.25 alle 20:30:30 sul server IP 10.9.10.104