I sistemi di equazioni di primo grado -prima parte

Argomenti trattati:
- Definizione - Metodo di Sostituzione - Metodo di Riduzione - Metodo del Confronto - Metodo di Cramer



Definizione
Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni di cui si cercano soluzioni che "vadano bene" contemporaneamente per tutte le equazioni presenti nel sistema stesso.
Questa argomento è di fondamentale importanza perché in moltissime applicazioni si devono risolvere uno o più sistemi per giungere ad un risultato. Le applicazioni che interessano a scuola sono essenzialmente legate allo studio dei punti di intersezione tra curve rappresentate in forma cartesiana.
Ma esistono moltissime altre applicazioni ed è stata sviluppata tutta una teoria al riguardo, facendo uso della cosiddetta notazione matriciale, che però a scuola, salvo rari casi, non si studia.
Vediamo di affrontare lo studio dei sistemi di equazioni di primo grado in due variabili (x e y).
Esistono 4 metodi di risoluzione che portano, ovviamente, allo stesso risultato e la cui preferenza dipende unicamente dall'esperienza che si matura con l'esercizio. Probabilmente, troverete più facile o simpatico un metodo in particolare, ma è opportuno imparare a usarli tutti, perché in alcune situazioni si è quasi obbligati a sceglierne uno solo, in quanto gli altri comporterebbero calcoli troppo lunghi.
Consideriamo, quindi, il generico sistema di due equazioni in due incognite in forma canonica:

e vediamo i vari metodi con cui si può risolvere, considerando degli esempi specifici.


1) Metodo di sostituzione
Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema e ridotto i monomi simili, si esplicita una delle due equazioni, ossia si ricava un'incognita in funzione dell'altra e la si sostituisce nella restante equazione che, riducendosi ad una equazione di primo grado in una sola variabile, si risolve facilmente.
Infine il valore dell'incognita così ottenuto lo sostituiamo nell'equazione in cui l'altra incognita era stata esplicitata, ottenendo un valore anche per questa seconda incognita.
La coppia di valori che si è trovato, è LA soluzione (al singolare!) del sistema.
Esempio

La soluzione è data dalla coppia (3/2; -13/4). Questa soluzione corrisponde a un punto del piano cartesiano, che è il punto di intersezione delle rette aventi per equazione le due equazioni che costituivano il nostro sistema.
Attenzione: il metodo di sostituzione è il più facile da ricordare e da applicare, ma quando si ha a che fare con un numero maggiore di equazioni e di incognite può diventare molto pesante.


2) Metodo di riduzione
Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili e posto il sistema nella forma canonica,
•  si individua il minimo comune multiplo dei coefficienti di un'incognita
•  si trova il fattore che consente di ottenere tale m.c.m. (e il suo opposto) per l'incognita considerata.
Questo è un passaggio (mentale) fondamentale ed è estremamente delicato.
Va fatto con molta attenzione perché molto spesso, quando si decide di applicare questo metodo, è qui che si commettono errori.

Si vedrà bene nell'esempio.
•  si sommano algebricamente in colonna le due equazioni: in questo modo scompare un'incognita
•  si risolve l'equazione così ottenuta ad una sola incognita
•  a scelta si può ripetere il procedimento per l'eliminazione dell'altra incognita oppure effettuare il metodo di sostituzione.
Esempio svolto (tralasciamo i passaggi che portano alla forma canonica):


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