I sistemi di equazioni di primo grado -prima parte

Studio dei metodi per lo svolgimento dei sistemi di equazioni di primo grado

di Redazione Studenti 17 marzo 2006
Argomenti trattati:
- Definizione - Metodo di Sostituzione - Metodo di Riduzione - Metodo del Confronto - Metodo di Cramer



Definizione

Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni di cui si cercano soluzioni che "vadano bene" contemporaneamente per tutte le equazioni presenti nel sistema stesso.
Questa argomento è di fondamentale importanza perché in moltissime applicazioni si devono risolvere uno o più sistemi per giungere ad un risultato. Le applicazioni che interessano a scuola sono essenzialmente legate allo studio dei punti di intersezione tra curve rappresentate in forma cartesiana.
Ma esistono moltissime altre applicazioni ed è stata sviluppata tutta una teoria al riguardo, facendo uso della cosiddetta notazione matriciale, che però a scuola, salvo rari casi, non si studia.
Vediamo di affrontare lo studio dei sistemi di equazioni di primo grado in due variabili (x e y).
Esistono 4 metodi di risoluzione che portano, ovviamente, allo stesso risultato e la cui preferenza dipende unicamente dall'esperienza che si matura con l'esercizio. Probabilmente, troverete più facile o simpatico un metodo in particolare, ma è opportuno imparare a usarli tutti, perché in alcune situazioni si è quasi obbligati a sceglierne uno solo, in quanto gli altri comporterebbero calcoli troppo lunghi.
Consideriamo, quindi, il generico sistema di due equazioni in due incognite in forma canonica:

e vediamo i vari metodi con cui si può risolvere, considerando degli esempi specifici.


1) Metodo di sostituzione
Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema e ridotto i monomi simili, si esplicita una delle due equazioni, ossia si ricava un'incognita in funzione dell'altra e la si sostituisce nella restante equazione che, riducendosi ad una equazione di primo grado in una sola variabile, si risolve facilmente.
Infine il valore dell'incognita così ottenuto lo sostituiamo nell'equazione in cui l'altra incognita era stata esplicitata, ottenendo un valore anche per questa seconda incognita.
La coppia di valori che si è trovato, è LA soluzione (al singolare!) del sistema.
Esempio

La soluzione è data dalla coppia (3/2; -13/4). Questa soluzione corrisponde a un punto del piano cartesiano, che è il punto di intersezione delle rette aventi per equazione le due equazioni che costituivano il nostro sistema.
Attenzione: il metodo di sostituzione è il più facile da ricordare e da applicare, ma quando si ha a che fare con un numero maggiore di equazioni e di incognite può diventare molto pesante.


2) Metodo di riduzione
Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili e posto il sistema nella forma canonica,
•  si individua il minimo comune multiplo dei coefficienti di un'incognita
•  si trova il fattore che consente di ottenere tale m.c.m. (e il suo opposto) per l'incognita considerata.
Questo è un passaggio (mentale) fondamentale ed è estremamente delicato.
Va fatto con molta attenzione perché molto spesso, quando si decide di applicare questo metodo, è qui che si commettono errori.


Si vedrà bene nell'esempio.
•  si sommano algebricamente in colonna le due equazioni: in questo modo scompare un'incognita
•  si risolve l'equazione così ottenuta ad una sola incognita
•  a scelta si può ripetere il procedimento per l'eliminazione dell'altra incognita oppure effettuare il metodo di sostituzione.
Esempio svolto (tralasciamo i passaggi che portano alla forma canonica):


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Commenti

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Leo giovedì, 13 marzo 2014

Aiuto

Scusate ma i metodi vanno usati in seguenza?

n° 22
Panthera giovedì, 13 marzo 2014

R: Aiuto

> Scusate ma i metodi vanno usati in seguenza?

"seGuenza"?!?!

gio :D mercoledì, 26 settembre 2012

odio le equazioni :s

Ciao a tutti potreste spiegarmi, dato che non capisco nemmeno la definizione, come si fa il metodo di sostituzione?

{2 (4x-y) = 12-3x
{3 (x+y) = 21

(la parentesi graf e tutta insieme)

n° 21
sebastiano venerdì, 7 dicembre 2012

R: odio le equazioni :s

sono sebastiano lumia e sono di castellanza....

sono gay

.filippo venerdì, 7 dicembre 2012

.dallo

.nooooonnnaa

Studenti venerdì, 7 dicembre 2012

R: .dallo

> .nooooonnnaa
Idem

sebastiano venerdì, 7 dicembre 2012

R: R: odio le equazioni :s

> sono sebastiano lumia e sono di castellanza....
>
> sono gay

Studenti venerdì, 7 dicembre 2012

R: R: R: odio le equazioni :s

> > sono sebastiano lumia e sono di castellanza....
> >
> > sono gay
L'indirizzo IP del vostro computer è stato registrato nei nostri server e verrà inviato alla Polizia Postale con relativa denuncia per diffamazione. Saluti
Redazione www.studenti.it

rupponsubricornitoligia mercoledì, 26 settembre 2012

R: odio le equazioni :s

> Ciao a tutti potreste spiegarmi, dato che non capisco nemmeno la definizione, come si fa il metodo di sostituzione?
>
> {2 (4x-y) = 12-3x
> {3 (x+y) = 21
>
> (la parentesi graf e tutta insieme)

Adunque:
se 3x + 3y = 21 allora y = 7 - x
quindi 8x - 2y = 12 - 3x è uguale a 8x - 14 + 2x = 12 - 3x
da ciò x = 2 per cui y = 5
XD

Andrew giovedì, 13 ottobre 2011

quanti errori ???

ci sono degli errori correggetela perchè senò qualcuno puo rimetterci un bel 4

n° 20
bertu g. venerdì, 21 ottobre 2011

R: quanti errori ???

davide bergese si è incazzato xk ha sbagliato tutto così ha rotto il pc ed è corso via!!

davide bergese venerdì, 21 ottobre 2011

R: R: quanti errori ???

> davide bergese si è incazzato xk ha sbagliato tutto così ha rotto il pc ed è corso via!!

buttana di tua mamma

bertu g. venerdì, 21 ottobre 2011

R: R: R: quanti errori ???

> > davide bergese si è incazzato xk ha sbagliato tutto così ha rotto il pc ed è corso via!!
>
> buttana di tua mamma

io sono gay

giulia martedì, 11 ottobre 2011

la scuola

che palle la scuola superiore in italia soppratutto se hai dei prof antipatici che non spiegano

n° 19
Christian martedì, 24 gennaio 2012

R: la scuola

non ne parliamo proprio
siamo tutti qui per quello

Manuel mercoledì, 26 settembre 2012

R: R: la scuola

> non ne parliamo proprio
> siamo tutti qui per quello

...rosicona...

cesara mercoledì, 12 ottobre 2011

R: la scuola

> che palle la scuola superiore in italia soppratutto se hai dei prof antipatici che non spiegano

...rosicone...

pietro martedì, 20 novembre 2012

scuola s

ciao a tutti mi potete spiegarmi il metodo di sostituzione io non lo ho capito ancora bene grazie

paolo martedì, 20 novembre 2012

R: scuola s

> ciao a tutti mi potete spiegarmi il metodo di sostituzione io non lo ho capito ancora bene grazie

Leggiti l'esempio di gio :D

Ss venerdì, 19 marzo 2010

se

non posso farci niente se siete gay.

n° 18
davide mercoledì, 15 dicembre 2010

R: se

buttana di tua mamma

gsdggrea mercoledì, 6 ottobre 2010

R: se

io sono gay

bfjdb martedì, 26 febbraio 2013

sei bello

sno cazzi toui

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