Sistemi di primo grado di 3 equazioni in 3 incognite - prima parte

Studio dei sistemi di primo grado di 3 equazioni in 3 incognite con metodi di risoluzione

di Redazione Studenti 17 marzo 2006
Argomenti trattati:
I metodi di risoluzione: Metodo di sostituzione - Metodo di Cramer



In generale, si presentano in questa forma (la cosiddetta forma normale o ridotta o canonica):

Rispetto ai sistemi di due equazioni in due incognite, non presentano novità dal punto di vista concettuale.
L'unica differenza sta, essenzialmente, nei calcoli, che richiedono più tempo.
Anche qui si tratterà di trovare una soluzione, se esiste, data da una terna di numeri stavolta, e non più da una coppia: (x,y,z).


I Metodi di risoluzione
I metodi di risoluzione sono gli stessi che si sono già visto nel caso di due incognite; qui vedremo degli esercizi svolti con due soli di essi: il Metodo di sostituzione e il Metodo di Cramer.
Quest'ultimo presenta delle differenze importanti, perché richiede il calcolo di determinanti di matrici 3x3, che è ben più complesso dell'analogo calcolo nel caso 2x2.
Per quanto riguarda gli altri due metodi, confronto e riduzione, valgono le considerazioni e le procedure illustrate nel caso dei sistemi in due incognite.


Metodo di sostituzione

Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili, e portato il sistema nella forma ridotta (come sopra) si esplicita una delle tre equazioni rispetto ad una qualsiasi delle tre variabili, ossia si ricava un'incognita in funzione delle altre due (ad es. x in funzione di y e z), e la si sostituisce nelle altre due equazioni.
Ci si concentra, quindi, su queste due equazioni (in cui compariranno solo y e z) e si ricava un'incognita in funzione dell'altra (ad es. y in funzione di z).
Si sostituisce nell'altra equazione, che diventa una semplice equazione di primo grado in una sola incognita (z). Si risolve, trovando un valore numerico per z e da questo si "risale" sostituendo nelle altre e ricavando valori numerici anche per le altre due variabili.
Vediamo tutto questo con un esempio:


Ricavo y nella prima equazione e la sostituisco nelle altre due:


Per avere calcoli più semplici, divido per 7 la seconda e la terza equazione:


Ricavo x nella seconda equazione e la sostituisco nella terza equazione:


Avendo ora un'equazione di primo grado in z, la risolvo trovando un valore per z:

Ottenuto il valore di una incognita lo sostituiamo nella seconda equazione, nella quale l'altra incognita era stata messa in evidenza e poi risaliamo fino alla prima equazione, ottenendo i valori delle tre incognite x, y, z.


Nota bene: in questi ultimi passaggi i sistemi sono stati "compilati" dal basso verso l'alto.
Ogni volta che ottengo un valore per una variabile, "risalgo" e sostituisco il valore ottenuto nelle altre equazioni, fino a trovare un valore per tutte e 3 le incognite.

Attenzione: in questo sistema, la soluzione esiste ed è unica: si tratta della terna x=2, y=1, z=5.

Non si tratta di 3 soluzioni. Anche qui c'è un'interpretazione geometrica: la terna di valori definisce un punto nello spazio. Ma la geometria analitica dello spazio non viene studiata a scuola, quindi potete trascurare questo aspetto.
Caricamento in corso: attendere qualche istante...

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Commenti

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Ciccio mercoledì, 15 maggio 2013

Come si fa

Come cavolo si fa a risolvere un sistema a 3 equazioni con 3 incognite??????

n° 9
lucignolo sabato, 19 gennaio 2013

Aiutoooooo!!!!

Se dopo aver esplicitato un'incognita devo esplicitare per esempio la x o la y ma entrambe hanno coefficiente e non hanno un minimo comune multiplo, come faccio???? D:

n° 8
zio conte venerdì, 15 febbraio 2013

R: Aiutoooooo!!!!

coglione !!!

dracula nipote venerdì, 15 febbraio 2013

R: R: Aiutoooooo!!!!

> coglione !!!

Yes, you are!

pinocchio sabato, 19 gennaio 2013

R: Aiutoooooo!!!!

> Se dopo aver esplicitato un'incognita devo esplicitare per esempio la x o la y ma entrambe hanno coefficiente e non hanno un minimo comune multiplo, come faccio???? D:

...cioè???

gianluca giovedì, 6 febbraio 2014

R: R: Aiutoooooo!!!!

Sei un grandissimo pezzo di merda, oltre a essere un'ignorante gay

sdfghj lunedì, 28 novembre 2011

Errore

5-2 è uguale a 3 nn a 2 cmq z-3 è uguale a 5-3 nn a 5-2 se z è uguale a 5 capra!

n° 7
kjhgfd lunedì, 28 novembre 2011

R: Errore

> 5-2 è uguale a 3 nn a 2 cmq z-3 è uguale a 5-3 nn a 5-2 se z è uguale a 5 capra!

"2 centimetri quadrati"?

haleandro martedì, 15 dicembre 2009

qualcuno sa dirmi x favore le equazioni di secondo grado a "3 incognite"????

help me!!! nn le riesco a fare proprio

n° 6
Roberto domenica, 28 marzo 2010

R: qualcuno sa dirmi x favore le equazioni di secondo grado a "3 incognite"????

per le equazioni a tre incognite fra i diversi modi di risoluzioni a mio avviso la piu semplice e la matrice determinante con la regola di sarrus e ancora piu semplice ti consiglio di fare una ricerca su wikpedia sotto la voce "matrice determinante" oppure "Regola di Sarrus" perche spiegartela qui io e un po' scomodo ok ma fidati non e una bestia a sette teste e facile qundo l'hai capito vedrai che è una sciocchiezza ma poi ti prego fammi sapere come è andata ok? ciao buonafortuna.

laura martedì, 1 dicembre 2009

re:

vorrei capire perchè con i prof non capisco niente,mentre qui capisco tutto.....c'è qualcosa che non va

n° 5
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