Controllo utente in corso...

La scomposizione dei polinomi in fattori - seconda parte

Studio della scomposizione dei polinomi in fattori. Diverse tipologie di scomposizioni e spiegazioni delle regole

di Redazione Studenti 17 marzo 2006
Argomenti trattati:
- Raccoglimento totale a fattor comune (numero qualsiasi di termini) - Raccoglimento parziale a fattor comune - Scomposizione del prodotto notevole (2 termini) - Scomposizione del trinomio di secondo grado (3 termini): riconoscimento del quadrato di un binomio - Scomposizione del trinomio di secondo grado (3 termini): caso generale - Scomposizione della somma o differenza di cubi (2 termini) secondo la regola - Scomposizione del quadrato del trinomio (6 termini) secondo la regola - Scomposizione del cubo di un binomio (4 termini) secondo la regola



5) Scomposizione del trinomio di secondo grado (3 termini): caso generale
In presenza un trinomio completo di secondo grado, cioè un trinomio in cui compare un termine al quadrato, uno alla prima potenza e un termine noto (cioè senza lettere), possiamo scomporre cercando tra i divisori del termine noto quei due numeri, la cui somma ci dia il valore del coefficiente numerico del termine di primo grado cambiato di segno e il cui prodotto ci dia il valore del termine noto.
Se non si riesce in maniera "intuitiva", si può tranquillamente risolvere l'equazione di secondo grado associata (ovvero: polinomio=0): le due radici (o soluzioni) trovate sono proprio i numeretti che cerchiamo (provare per credere).
Con i due numeri "in mano", chiamiamoli m ed n, la scomposizione è immediata: il polinomio dato si può scrivere come prodotto di due binomi: (x-m)(x-n)
Vediamo gli esempi: x2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)
Qui si aveva: m=3, n=4.
Infatti: 3 + 4 = 7 e 3*4=12.
x2 - 5x + 6 -(x - 3)(x - 2)

Attenzione al prossimo: x2 + 8x + 12 -(x + 6)(x + 2)
Qui m ed n erano entrambi negativi: m=-6, n=-2
(infatti: -6+(-2)=-8 e (-6)*(-2)=+12). Ecco perché nei binomi abbiamo inserito x+2 e x+6: si ottengono come x-(-2) e x-(-6).
Attenzione!!
La regola che si è vista vale solo nel caso in cui il coefficiente di secondo grado è 1.
Nel caso sia diverso da 1, la scomposizione si effettua in questo modo (naturalmente è una generalizzazione di quanto appena visto, quindi potete applicare sempre questa senza problemi):
•  si calcono le radici dell'equazione associata; chiamiamole ancora m ed n;
•  la scomposizione è data da: a(x-m)(x-n).
L' unica differenza, fondamentale, è data dal coefficiente a davanti ai due binomi.
Esso non è altro che il coefficiente del termine di secondo grado.
Quindi, per fare un esempio: 2x2 -10x + 12 = 2(x - 3)(x - 2)
dopo aver calcolato le due radici, che sono m=3, e m=2.
Questa scomposizione è una delle più importanti ed è quella che non si ricorda mai. Soprattutto non scordatevi il coefficiente a davanti ai binomi.
Si vede subito che se a=1, si torna ai primi esempi visti.


6) Scomposizione della somma o differenza di cubi (
2 termini) secondo la regola
a3 + b3 = (a + b)(a2- ab + b2)
a3 - b3 - (a - b)(a2+ ab + b2)
In presenza della somma o della differenza di due cubi scomponiamo tale binomio, seguendo le regole sopra indicate.
Esempi:
x3 + 125 = (x + 5)(x2 - 5x + 25)
x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)

Tali regole non sono difficili da ricordare, in quanto, dopo aver riconosciuto le basi dei due cubi, queste vanno riportate in un binomio intervallate dallo stesso segno che c'è tra i due cubi (negli esempi: x+5 e x-1).
Successivamente, va scritto un polinomio tra parentesi che è molto simile al quadrato di binomio: non bisogna fare il doppio prodotto, ma solo il prodotto semplice, ed esso ha segno opposto a quello che c'è tra i due cubi di partenza.
Altri esempi:
x3 + 8 = (x + 2)(x2 - 2x + 4)


7) Scomposizione del quadrato del trinomio (
6 termini) secondo la regola
(a + b + c)2 - a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
In presenza di sei termini, di cui tre risultano essere dei quadrati, possiamo effettuare il riconoscimento del quadrato di un trinomio se, una volta trovate le tre basi, sono presenti i tre "doppi prodotti".
Esempio:
25x2 + 36y2 + 9z2 + 60xy + 30xz + 36yz = (5x + 6y + 3z)2

I tre quadrati sono 25x2, 36y2 e 9z2, da cui ricaviamo le tre basi 5x, 6y e 3z.
I tre doppi prodotti sono 60xy, 30xz e 36yz.
In quest'altro esempio, bisogna fare molta attenzione ai segni:
x2 + 4y2 + 49z2 - 4xy + 14xz -28yz - (x - 2y + 7z)2


8) Scomposizione del cubo di un binomio (4 termini) secondo la regola

In presenza di sei termini, di cui due risultano essere dei cubi, riconosciamo il cubo di un binomio svolto se, una volta trovate le due basi, sono presenti:
•  il triplo del quadrato del primo, moltiplicato per il secondo
•  il triplo del primo, moltiplicato per il quadrato del secondo
Esempio: 27x3 + 1 + 27x2 + 9x = (3x + 1)3

Si nota infatti che: 27x 3 e 1 sono i cubi di 3x e 1 rispettivamente; inoltre, sono presenti i tripli prodotti menzionati: 27x 2 è il triplo di 9x 2 * 1; 9x è il triplo di 3x*1 2
Anche qui, fare attenzione ai segni e accertarsi, anche tramite verifica a posteriori, che lo sviluppo del cubo dia come risultato il polinomio di partenza.
Caricamento in corso: attendere qualche istante...

26
Commenti

Pagina 1 di 4:
1 2 3 4 > »
Azeck giovedì, 27 maggio 2010

Ottimo

Complimenti......spiegazione ottima ;)

n° 17
Frazer giovedì, 15 ottobre 2009

Bravi!

Perchè la gente si deve divertire a commentare a cazzo il lavoro di qualcuno k si è preso la briga di riportare queste informazioni qui

n° 16
hjrwefbq martedì, 1 settembre 2009

gbehewr

ottimo

n° 15
Giliberto mercoledì, 22 aprile 2009

staut

ma daiiii mhà

n° 14
juliette giovedì, 16 aprile 2009

grz

Non ho capito niente lo stesso ma grazie lo stesso..

n° 13
Chiudi
Aggiungi un commento a La scomposizione dei polinomi in fattori - seconda parte...
  • * Nome:
  • Indirizzo E-Mail:
  • Notifica automatica:
  • Sito personale:
  • * Titolo:
  • * Avatar:
  • * Commento:
  • * Trascrivi questo codice:
* campi obbligatori
Pagina 1 di 4:
1 2 3 4 > »

Ti è piaciuto questo articolo? Vuoi rimanere sempre aggiornato?

Seguici su Facebook Seguici su Twitter Iscriviti alla newsletter
Pagina generata il 2014.04.23 alle 13:48:48 sul server IP 10.9.10.176