La scomposizione dei polinomi in fattori - prima parte

Argomenti trattati:
- Raccoglimento totale a fattor comune (numero qualsiasi di termini) - Raccoglimento parziale a fattor comune - Scomposizione del prodotto notevole (2 termini) - Scomposizione del trinomio di secondo grado (3 termini): riconoscimento del quadrato di un binomio - Scomposizione del trinomio di secondo grado (3 termini): caso generale - Scomposizione della somma o differenza di cubi (2 termini) secondo la regola - Scomposizione del quadrato del trinomio (6 termini) secondo la regola - Scomposizione del cubo di un binomio (4 termini) secondo la regola



1) Raccoglimento totale a fattor comune (numero qualsiasi di termini)
Si calcola il M.C.D. fra i monomi presenti nel polinomio, lo si pone "in evidenza" davanti a una parentesi e si inserisce nella parentesi il risultato della divisione di ciascun termine del polinomio per il M.C.D. Bisogna fare attenzione ai segni.
Esempi:
24x⁴ + 5x³ - 15x² + 75x = 5x(5x³ + x² - 3x + 15)
12x³ + 4x² - 16x = 4x(3x² + x - 4)

Per essere sicuri di avere scomposto in modo corretto si può fare una verifica: si sviluppa il prodotto tra il monomio e il polinomio tra parentesi (anche mentalmente) e, se la scomposizione è corretta, si deve ottenere il polinomio di partenza.


2) Raccoglimento parziale a fattor comune
E' la scomposizione che richiede maggiore "occhio".
L'idea generale è questa. Si raccoglie un fattore comune fra alcuni dei termini presenti. Si raccoglie un altro fattore comune ad altri termini. Se nelle parentesi delle due scomposizioni effettuate si trova lo stesso polinomio, si può mettere in evidenza questa stessa parentesi.
Si vedrà meglio dopo con un esempio.
Naturalmente, la bravura sta nel mettere in evidenza dei fattori che fanno sì che tra parentesi compaia lo stesso polinomio. Non esiste una regola generale; spesso bisogna procedere per tentativi, dal momento che i fattori evidenziabili possono essere più di uno.
Vediamo alcuni esempi:
2x - 2y + x² - xy - 2(x - y) + x(x - y) - (x - y)(2 + x)

Come si vede, nel primo passaggio si sono effettuate due scomposizioni. In entrambe le parentesi compare il binomio (x - y): mettiamolo in evidenza e trattiamolo come se fosse un monomio. Con quali coefficienti (numerici/letterali) compare? +2 e +x (ho evidenziato i segni per non commettere errori).
Tali coefficienti vanno inseriti nella nuova parentesi.
Al solito, per verificare la correttezza della scomposizione si può fare il prodotto tra i binomi così ottenuti e il risultato deve dare il polinomio di partenza.
Il raccoglimento è parziale, perché coinvolge solo una parte dei termini del polinomio.
Si può anche notare che si potevano fare altri tentativi, ad esempio mettere in evidenza la x del primo e del quarto monomio, ma questo tentativo non avrebbe prodotto nulla di buono. Provate.

Vediamo un altro esempio:
6x² - 8xy + 12xy - 16y² - 2x(3x - 4y) + 4y(3x - 4y)

Metto in evidenza il binomio (3x - 4y). Questo compare con coefficienti + 2x e + 4y.
La scomposizione finale pertanto è data da: (3x - 4y)(2x + 4y).


3) Scomposizione del prodotto notevole (2 termini)
In presenza di un binomio composto da due quadrati, separati dal segno meno, riconosciamo il prodotto notevole svolto, del tipo:
(a + b)(a - b) = - a² - b²

La scomposizione in questo caso consiste essenzialmente nel cercare le basi dei quadrati e scrivere "al contrario" questa uguaglianza:
16x² - 9y² = (4x - 3y)(4x + 3y)

Si vede subito che le basi sono rispettivamente 4x e 3y: la scomposizione è data dal prodotto di due binomi, in cui compaiono queste basi intervallate dal segno + in uno di essi e dal segno – nell'altro.


4) Scomposizione del trinomio di secondo grado (3 termini): riconoscimento del quadrato di un binomio
In presenza di tre termini, di cui due risultano essere due quadrati, ricordando la regola del quadrato del binomio
riconosciamo il quadrato del binomio risalendo ai valori iniziali che sono stati elevati al quadrato e prestando particolare attenzione al doppio prodotto, che ci suggerirà il segno nel binomio.
Esempi:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²

Come si vede x² e 25 sono i quadrati di x e 5 rispettivamente. Nel trinomio compare anche +10x, che è proprio il doppio prodotto tra 5 e x. Da queste considerazioni, è immediato il riconoscimento del quadrato del binomio (x + 5).