Equazioni di Primo Grado - parte seconda

Argomenti trattati:
- Espressione - Identità - Equazione - Equazione ridotta a Forma Normale (FN) -Grado di un'equazione -Risoluzione di un'equazione - Equazioni equivalenti - I Principio di Equivalenza (di addizione e sottrazione) - II Principio di Equivalenza (di moltiplicazione e divisione) - Risoluzione delle equazioni di primo grado - Equazioni letterali di primo grado: discussione




Equazioni equivalenti
Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.
Cioè, se un certo valore dell'incognita è soluzione di una equazione, è soluzione anche per la seconda; e viceversa.
Esempio:
5x-3=2 e 2x+4=6 sono equivalenti perché ammettono la stessa (unica) soluzione x=1.
A questo punto, per risolvere un'equazione, si dovrà fare attenzione, nel fare i calcoli, a passare dall'equazione data a una ad essa equivalente, e da questa ad un'altra ancora equivalente, via via fino ad ottenere un'equazione in FN che, se abbiamo fatto bene i conti, rispettando i principi di equivalenza, sarà equivalente a quella iniziale. Basterà, infine, trovarne le soluzioni e saremo sicuri che queste sono soluzioni anche per quella iniziale.
Vediamo quali sono i principi di equivalenza che ci permettono di trasformare l'equazione data in una, ad essa equivalente, in FN.


Primo principio di equivalenza (di addizione e sottrazione)
Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri di una equazione una stessa espressione, contenente o no l'incognita, si ottiene un'equazione equivalente alla data.
Come importante conseguenza, si può trasportare un termine da un membro all'altro purchè lo si cambi di segno (regola del trasporto).
Ad esempio:
5x-3=2 diventa, sottraendo due ad ambo i membri, 5x-3-2=2-2, da cui l'equazione in FN: 5x-5=0.


Secondo principio di equivalenza (di moltiplicazione e divisione)
Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una equazione per una stessa espressione algebrica diversa da zero, contenente o no l'incognita, si ottiene una equazione equivalente a quella data.

Ad esempio:

Si può moltiplicare ambo i membri per 6, ottenendo: 3(3x+4)=2(5x+1).
Questa operazione consente di "eliminare" il denominatore. Questo principio ha due importanti conseguenze.
La prima è che, cambiando i segni a tutti i termini di una equazione, se ne ottiene una equivalente a quella data (significa, infatti, moltiplicare per -1 ambo i membri). La seconda è che, se tutti i termini di una equazione hanno lo stesso denominatore (non contenente l'incognita), esso può essere eliminato.
Esempio:

Si possono eliminare i denominatori, ottenendo: 3x+4=5x+1. Questa operazione di eliminazione corrisponde alla moltiplicazione per 6 ad ambo i membri.
Nota: se contiene l'incognita, il denominatore si può comunque eliminare, ma dopo aver stabilito per quali valori dell'incognita esso si annulla, facendo così perdere di significato l'operazione di divisione: questi valori non dovranno essere accettati, qualora alla fine dell'esercizio risultassero soluzioni dell'equazione.


Risoluzione delle equazioni di primo grado
Siamo ora in grado di risolvere un'equazione di primo grado. O meglio, un'equazione algebrica razionale intera di primo grado (a una incognita).
Supponiamo di aver già fatto una serie di calcoli, seguendo i principi di equivalenza, e di essere arrivati a scriverla in FN.
Consideriamola nella sua forma generale (ricorrendo a dei coefficienti letterali, dunque).
Essa sarà della forma:
ax+b=0
Applicando la regola del trasporto, otteniamo:
ax=-b
Infine, dividendo ambo i membri per a, si ottiene la soluzione:
x=-b/a
Naturalmente il coefficiente a dovrà essere diverso da zero, perché l'equazione sia determinata.
Esempio:
3x-2=0
3x=2 (regola del trasporto)
x=2/3 (dividendo ambo i membri per 3)
La soluzione dell'equazione data è: x=2/3.

Verifica
Dopo aver risolto un'equazione, è utile verificare di aver fatto bene i calcoli.
Per farlo, basterà prendere il valore (o i valori) trovato e sostituirlo all'incognita nell'equazione di partenza. Se viene un'identità (ad esempio 5=5), il valore trovato è effettivamente soluzione dell'equazione.
Nel nostro caso, sostituendo x=2/3, si ottiene: 2-2=0, che è un'identità.
Altri esempi:

Facendo il m.c.m ed eliminando il denominatore (secondo principio), si ottiene:
3x -2= 10x - 9x +2

Portando in FN, si ha:
2x - 4=0
che ammette come unica soluzione: x=2.

Vediamo un esempio di equazione impossibile:
3x - 4= 2x + x + 1
0x - 5=0
Come si vede, l'uguaglianza -5=0 non potrà mai essere verificata: l'equazione non ammette soluzioni.

Infine, il caso di equazione indeterminata:

Facendo il m.c.m. ed eliminando il denominatore:
3x - 2= 12x - 9x - 2
che in FN diventa:
0x + 0=0

Ovvero 0=0, che è sempre verificata. Qualsiasi valore della x è soluzione dell'equazione o, se si preferisce, l'equazione è soddisfatta per qualsiasi valore della x.
Quindi, l'equazione data si è rivelata essere un'identità.


Equazioni letterali di primo grado: discussione
In alcuni esercizi è richiesto di studiare una data equazione (in un'incognita, x), al variare di uno o più parametri che vi compaiono. Un parametro non è altro che una lettera, che ha la funzione di coefficiente numerico. A seconda dei particolari valori che assume, l'equazione potrà avere diversi insiemi di soluzione.
Importante: l'equazione si risolve sempre rispetto a x, ma le soluzioni dipendono dal valore del parametro.
Vediamo un esempio.

Si risolva la seguente equazione rispetto all'incognita x e si discuta al variare dei parametri b e k.
kx - b= -3(1 + 2x)
Sviluppando i passaggi e raccogliendo la x si ottiene:
kx - b= -3 - 6x
kx + 6x= b - 3
x(k+6)=b - 3

Discutiamo ora l'equazione, cioè studiamo al variare dei parametri k,b, la risolubilità dell'equazione.


L'equazione è impossibile: si avrebbe, infatti, 0=b-3 (che è diverso da zero, essendo b diverso da 3)


In questo caso l'equazione è indeterminata. Si ha: 0=0 (un'identità).


L'equazione è determinata e ammette come soluzione (unica):



Qui di seguito troverai lo studio delle equazioni di secondo grado.