Equazioni di Primo Grado - prima parte

Argomenti trattati:
- Espressione - Identità - Equazione - Equazione ridotta a Forma Normale (FN) - Grado di un'equazione - Risoluzione di un'equazione -Equazioni equivalenti - I Principio di Equivalenza (di addizione e sottrazione) - II Principio di Equivalenza (di moltiplicazione e divisione) - Risoluzione delle equazioni di primo grado - Equazioni letterali di primo grado: discussione



Espressione
Un insieme di numeri e lettere collegati da operazioni da eseguire su di essi costituiscono un' espressione. Le lettere che compaiono in un'espressione possono avere due diversi significati: possono essere costanti (generalmente indicate con le prime lettere dell'alfabeto: a,b,c,...), o variabili (ed indicate con le ultime lettere dell'alfabeto: x,y,z).


Identità
Si dice identità, l'uguaglianza tra due espressioni verificata per qualunque valore assegnato alle variabili in esse contenute e per cui le espressioni hanno significato. Ad esempio, sono identità le seguenti uguaglianze:




Equazione
Si dice equazione, una uguaglianza tra due espressioni verificata solo per particolari valori (detti soluzioni) assegnati alle variabili (incognite) in essa contenute. Ad esempio:

3x + 2	=	7
1° membro		2° membro

Risolvere un'equazione significa determinare l' insieme delle soluzioni S, ossia l'insieme di quei particolari valori che, assegnati alle variabili, soddisfano l'equazione trasformandola in uguaglianza. Si noti che, a priori, data un'equazione, non sappiamo se esistono soluzioni.
Potrebbe anche succedere che, risolvendola, si scopra che essa è soddisfatta per qualsiasi valore dell'incognita: in questo caso, scopriamo a posteriori, che l'equazione data era in realtà un'identità.
Quindi, fate attenzione: quando si ha davanti un'equazione (ovvero un'espressione in cui compaiono una o più incognite) il nostro obiettivo è quello di risolverla, ovvero di trovare dei valori che, sostituiti, all'incognita, diano luogo a una identità (ad esempio: 7=7). Non è escluso il caso in cui l'equazione si dimostri essere, a posteriori, un'identità, ovvero verificata per ogni valore dell'incognita che non faccia perdere di significato le operazioni che compaiono.
Ad esempio:
5x-3=4x+1 è un'equazione che ammette come soluzione x=4: infatti, sostituendo alla x tale valore si ottiene l'identità 17=17.
Tra poco vedremo come fare a risolvere un'equazione.
Intanto vediamo una prima classificazione delle equazioni in base all'esistenza e al numero di soluzioni.
Un'equazione si dice:
•  determinata, se ammette un numero finito di soluzioni (ad esempio, quella di prima: 5x-3=4x+1)
•  indeterminata, se ammette infinite soluzioni (ad esempio: 2x+1=2x+2-1)
•  impossibile, se non ammette soluzioni (ad esempio: x+1=x-1).
Un'altra classificazione è fatta in base al tipo di espressioni e operazioni che compaiono.
Una prima distinzione si deve fare tra equazioni algebriche e trascendenti.

Le equazioni algebriche sono equazioni in cui, come dice la parola, sull'incognita si effettuano operazioni algebriche (somma, differenza, prodotto, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice), mentre quelle trascendenti sono equazioni in cui l'incognita compare nell'argomento di funzioni esponenziali, logaritmiche o goniometriche.
In questa parte ci concentriamo sulle equazioni algebriche. Nel seguito, dunque, quando si parlerà genericamente di equazioni, si intenderanno quelle algebriche.

Per le equazioni trascendenti, puoi vedere la sezione ad essa dedicata alle equazioni esponenziali e logaritmiche.
Ancora, considerando sempre classificazioni sulla base delle operazioni che compaiono, possiamo distinguere le equazioni in:
- numeriche (se, oltre all'incognita, vi figurano solo numeri);
- letterali (se, oltre all'incognita, vi figurano altre lettere, che hanno il ruolo di costanti);
- intere (se non ci sono frazioni o, nel caso ci fossero, se l'incognita non compare in nessun denominatore)
- fratte (se, al contrario, compare in almeno un denominatore)
- razionali (se l'incognita non figura sotto il segno di radice)
- irrazionali (se, al contrario, compare sotto il segno di radice; anche qui, come sopra: se vedete radici, non è detto che l'equazione sia irrazionale. Dipende se sotto una o più di quelle radici vi compare l'incognita).

Esempio:
Questa è un'equazione algebrica intera (il denominatore c'è ma non vi compare l'incognita), razionale (non ci sono radici), numerica (compaiono solo numeri oltre all'incognita x).



Equazione ridotta a Forma Normale (FN)
Un'equazione algebrica si dice ridotta a forma normale (FN) se il primo membro è un polinomio ridotto e il secondo membro è zero.
Per polinomio ridotto si intende un polinomio in cui non compaiono monomi simili (ovvero, si è già provveduto in precedenza a fare le somme e le semplificazioni). Ad esempio: 3x-4=0 è in FN. Mentre non lo sono: 2x-2=1; 2x² -3x+x² =0. In quest'ultimo è necessario sommare tra loro i termini simili in x² per ottenere un'equazione in FN.


Grado di un'equazione
Si dice grado di un'equazione ridotta a FN il grado del polinomio che si trova a primo membro dell'equazione (ovvero, il grado massimo con cui compare l'incognita).
Ad esempio: 5x-2=0 è un'equazione di primo grado. 3x⁴ +x³ -2=0 è di quarto grado.


Risoluzione di un'equazione
In generale, quando in un esercizio è richiesto di risolvere un'equazione, è necessario fare dei passaggi prima di arrivare alla FN.
Da questa è poi possibile, nei modi che si vedranno in seguito per le equazioni di primo e secondo grado, trovare agevolmente le soluzioni dell'equazione assegnata.
Ma come si fa ad arrivare alla FN? Quali sono i passaggi che ci è consentito fare?
Prima di vederli, leggi la definizione.