Disequazioni di Secondo Grado - seconda parte

Le disequazioni sono studiate secondo i seguenti casi:

di Redazione Studenti 17 marzo 2006
a>0
a<0


Quindi, detta x1 l'unica soluzione dell'equazione, la disequazione: ax2 + bx + c > 0 non è mai verificata (ricordo che siamo nel caso a <0).
Infatti, se abbiamo detto che il polinomio è negativo per ogni x (in x1 si annulla), non ci potranno essere valori di x che lo rendono positivo.
L'altra disequazione: ax2 + bx + c < 0 è verificata per ; , tranne x=x1 . Infatti, in questo punto il polinomio si annulla e la disequazione ci "chiede", invece, quando assume valori strettamente negativi. In simboli, la soluzione si può scrivere così:

NOTA
Per le disequazioni con i segni di disuguaglianza debole, le cose cambiano un pochino.
Infatti, per la disequazione: ax2 + bx + c ≥0 l' unica soluzione è data proprio da x=x1 (confronta quanto detto nel caso a >0).
L'altra disequazione: ax2 + bx + c ≤0 è verificata per ; (stavolta il punto x=x1 lo posso considerare tra le soluzioni).
Non bisogna, comunque, scordarsi di riportare nel grafico del segno il punto x1 , sottolineando che in quel punto il polinomio si annulla.

3) <0
Come si ricorderà, in questo caso non abbiamo soluzioni reali (ma due soluzioni complesse coniugate).
Questo è il caso più semplice di tutti. Infatti, quando <0, il polinomio assume sempre lo stesso segno (che è lo stesso segno di a, per cui è sempre negativo ) e non si annulla mai.
Quindi, a differenza del caso precedente, non ci sono punti da riportare sul grafico e non ci sono considerazioni particolari da fare sui casi di disuguaglianza debole: è tutto ben definito in maniera univoca.
Per cui, la disequazione: ax2 + bx + c > 0 non è mai verificata (stesso discorso per la disequazione con il ≥).
L'altra disequazione: ax2 + bx + c < 0 è sempre verificata, per ; (stesso discorso per la disequazione con il ≤).

IMPORTANTE

E' sempre possibile riportarsi a una disequazione di secondo grado con a >0: se a<0, basta moltiplicare ambo i membri per -1, ricordando di cambiare il verso della disequazione (!).
Così facendo, basterà ricordarsi lo schema relativo al solo caso a >0.

CONCLUSIONE

Potrebbero sembrare tante cose da ricordare e sembra esserci il rischio di confondersi. Non è così.
Riassumiamo le cose essenziali da ricordare.

1) Saper risolvere le equazioni di secondo grado

2) Riportato al caso a >0:
se >0, il polinomio è positivo negli intervalli esterni;
se =0, è sempre positivo ma mi devo ricordare di riportare x=x1 (in questo punto si annulla);
se <0 è sempre positivo.

3) Stabilito dove è positivo, negativo, nullo si danno le soluzioni sulla base di quello che ci "chiede" la disequazione.



METODO GRAFICO

Siamo interessati a studiare una disequazione di secondo grado, che si presenta in una di queste due forme: ax2 + bx + c > 0
oppure: ax2 + bx + c < 0
Nel metodo grafico si fa ricorso alla parabola.
Ricordo che sul piano cartesiano, l'equazione: y = ax2 + bx + c rappresenta una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y.
Il secondo membro, come si può notare, è un polinomio di secondo grado di cui ci stiamo occupando di stabilire il segno.
Pertanto la discussione algebrica sul segno del polinomio si traduce in un problema di geometria analitica volto a stabilire per quali valori della variabile indipendente (x) la parabola si trova sopra/sotto l'asse delle x.

E' necessario avere dimestichezza con le equazioni di secondo grado, perché risolvendo un'equazione di secondo grado è possibile stabilire le (eventuali) intersezioni della parabola con l'asse delle x.
In secondo luogo, bisogna ricordarsi che:
- se a >0, la parabola volge la concavità verso l'alto ("va verso l'alto");
- se a <0, la parabola volge la concavità verso il basso ("va verso il basso").
Questi due elementi sono necessari e sufficienti per capire immediatamente quali sono le soluzioni della disequazione in esame.
Vediamo nel dettaglio come procedere.
1) Risolviamo l'equazione associata: ax2 + bx + c = 0 che, a seconda del segno del , avrà soluzioni reali (distinte o coincidenti) o complesse (vedi la sezione sulle equazioni di secondo grado).

2) Facciamo un grafico "approssimato" della parabola, tenendo in considerazione il segno di a.
Per "approssimato" si intende che non c'è bisogno di fare il grafico esatto della parabola, ma solamente evidenziare i i suoi eventuali punti di intersezione con l'asse x e tracciarla con la concavità verso l'alto o verso il basso, a seconda che a sia positivo o negativo.
Soltanto questi due elementi ci interessano in questo ambito: intersezioni e concavità.
Fatto questo, si potrà risolvere la disequazione assegnata semplicemente osservando il grafico, rispondendo a una di queste domande.
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