Disequazioni di Secondo Grado (parte 1)

Disequazioni di secondo grado: spiegazione dei metodi per svolgerle

di Redazione Studenti 16 novembre 2015

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DISEQUAZIONI DI SECONDO GRANDO - Sei prossimo ad un compito di matematica sulle disequazioni di secondo grado e hai bisogno di qualcuno che ti spieghi quei passaggi che proprio non hai capito? Sei nel posto giusto! Noi di Studenti.it abbiamo preparato per te questa lezione, divisa in quattro sezioni, per non farti cogliere impreparato alla verifica! Che aspetti? Ripassa con noi le disequazioni di secondo grado!
Guarda anche le successive sezioni:
- Disequazioni di secondo grado (parte 2)
- Disequazioni di secondo grado (parte 3)
- Disequazioni di secondo grado (parte 4)

Da non perdere: Matematica: spiegazioni ed esercizi svolti online



Una disequazione di secondo grado si presenta in una delle seguenti forme:

ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c < 0

Naturalmente, potranno anche esserci i segni di disuguaglianza debole: ≤, ≥.
La risoluzione di una disequazione di secondo grado è strettamente collegata alla risoluzione della corrispondente equazione di secondo grado: ax2 + bx + c = 0
Per cui, prima di passare allo studio delle disequazioni, è bene avere una certa dimestichezza con le equazione di secondo grado.
E' possibile affrontare lo studio di una disequazione di secondo grado in due modi:

- Metodo Algebrico
- Metodo Grafico


METODO ALGEBRICO

La risoluzione tramite il metodo algebrico si fonda sulla scomposizione del polinomio di secondo grado e sullo studio del segno di questa fattorizzazione.
Ricordo che il generico polinomio di secondo grado: ax2 + bx + c si scompone nel modo seguente:
ax2 + bx + c= a (x - x1) (x - x2) dove x1 e x2sono le radici del polinomio, ovvero le soluzioni dell'equazione di secondo grado: ax2 + bx + c = 0.
Lo studio di una disequazione di secondo grado dipenderà da come è "fatta" questa scomposizione (segno di a, numero delle soluzioni).
Si potrebbe fare questo studio ogni volta che si ha davanti una disequazione di secondo grado.
Ed è quello che consiglio di fare quando non si è sicuri della propria memoria...

Quello che segue è uno schema di comportamento che vale in generale e a cui si può fare riferimento ogni volta che si risolve una disequazione di secondo grado. Tutti i risultati esposti non sono "campati per aria", ma discendono dalla studio del segno della fattorizzazione riportata sopra.
Dato un polinomio di secondo grado nella variabile x: ax2 + bx + c
per determinare gli intervalli in cui assume valori positivi e gli intervalli in cui assume valori negativi (studio del segno), basta fare due osservazioni:

- segno di a (positivo o negativo)
- calcolo del delta (Δ)

Sulla base di queste osservazioni si potrà concludere immediatamente see dove il trinomio è maggiore o minore di zero.
Consideriamo tutti i casi che si possono verificare.
Cominciamo con il vedere cosa succede, al variare del segno del Δ, quando a >0

1) Δ>0
In questo caso, abbiamo due soluzioni reali e distinte per l'equazione associata.
Il polinomio assume:
- valori positivi negli intervalli esterni individuati dalle due soluzioni
- valori negativi nell' intervallo interno
Quindi, dette x1 e x2le soluzioni dell'equazione e posto x1 ax2 + bx + c > 0 per: x < x1 e x > x2.
Invece, per la disequazione: ax2 + bx + c < 0 l'insieme delle soluzioni è dato dai valori interni all'intervallo: x1 < x < x2

NOTA
Per le disequazioni con il segno di disuguaglianza debole: ax2 + bx + c≥0 e ax2 + bx + c ≤0
valgono le stesse considerazioni. L'unica differenza sta nel fatto che anche i due valori x1 e x2 sono da considerare come soluzioni (in quanto è accettabile che il polinomio si annulli). La "forma" delle soluzioni cambierà di conseguenza.
Nel primo caso avremo: x≤x1 x≥x2
Nel secondo caso: x1≤x≤x2

2) Δ=0
In questo caso abbiamo due soluzioni reali e coincidenti: x1=x2.
Il polinomio assume sempre lo stesso segno (e questo segno è lo stesso di a, cioè sempre positivo), tranne nel punto x=x1, in cui si annulla.

Attenzione: il polinomio si annulla per x=x1.
Non bisogna mai dimenticare, nel caso in cui Δ=0, di riportare, nel grafico del segno del polinomio di secondo grado, il punto x1 e di sottolineare che in questo punto il polinomio si annulla. E' una dimenticanza molto comune e che porta a degli errori, soprattutto quando inserita in un contesto specifico (studio del segno di una derivata, ecc.).

 

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5
Commenti

io domenica, 19 aprile 2015

io ho capito...

Non ho capito una ca**o

n° 4
giacomo mercoledì, 17 agosto 2011

matematica

dovrebbe esserci un errore nel terzo caso poichè per delta<0 si ha che ax^2+bx+c>0 sempre verificata...con a,b,c>0

n° 3
Eugenia mercoledì, 14 febbraio 2007

tutto o quasi su di me..

Ho trovato il sito adatto a me!!!

n° 2
avril lunedì, 1 dicembre 2008

Re: tutto o quasi su di me..

potresti dirmi cm si fa per scrivere un mess d'aiuto'? mi sn appena iscritta..help

francesca giovedì, 14 dicembre 2006

che fortuna..!

grazie mi è proprio servito..!non sapevo da che parte iniziare e domani incombe il compito..x me la matematica è un casino!!finalmente adesso ho capito come fare!ciao

n° 1
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