Disequazioni di Secondo Grado - prima parte

Le disequazioni sono studiate secondo i seguenti casi:

di Redazione Studenti 17 marzo 2006
a>0
a<0


Una disequazione di secondo grado si presenta in una delle seguenti forme:

ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c < 0

Naturalmente, potranno anche esserci i segni di disuguaglianza debole: ≤, ≥.
La risoluzione di una disequazione di secondo grado è strettamente collegata alla risoluzione della corrispondente equazione di secondo grado: ax2 + bx + c = 0
Per cui, prima di passare allo studio delle disequazioni, è bene avere una certa dimestichezza con le equazione di secondo grado.
E' possibile affrontare lo studio di una disequazione di secondo grado in due modi:

- Metodo Algebrico
- Metodo Grafico


METODO ALGEBRICO

La risoluzione tramite il metodo algebrico si fonda sulla scomposizione del polinomio di secondo grado e sullo studio del segno di questa fattorizzazione.
Ricordo che il generico polinomio di secondo grado: ax2 + bx + c si scompone nel modo seguente:
ax2 + bx + c= a (x - x1) (x - x2) dove x1 e x2sono le radici del polinomio, ovvero le soluzioni dell'equazione di secondo grado: ax2 + bx + c = 0.
Lo studio di una disequazione di secondo grado dipenderà da come è "fatta" questa scomposizione (segno di a, numero delle soluzioni).
Si potrebbe fare questo studio ogni volta che si ha davanti una disequazione di secondo grado.
Ed è quello che consiglio di fare quando non si è sicuri della propria memoria...

Quello che segue è uno schema di comportamento che vale in generale e a cui si può fare riferimento ogni volta che si risolve una disequazione di secondo grado. Tutti i risultati esposti non sono "campati per aria", ma discendono dalla studio del segno della fattorizzazione riportata sopra.
Dato un polinomio di secondo grado nella variabile x: ax2 + bx + c
per determinare gli intervalli in cui assume valori positivi e gli intervalli in cui assume valori negativi (studio del segno), basta fare due osservazioni:

- segno di a (positivo o negativo)
- calcolo del delta (Δ)

Sulla base di queste osservazioni si potrà concludere immediatamente see dove il trinomio è maggiore o minore di zero.
Consideriamo tutti i casi che si possono verificare.
Cominciamo con il vedere cosa succede, al variare del segno del Δ, quando a >0

1) Δ>0
In questo caso, abbiamo due soluzioni reali e distinte per l'equazione associata.
Il polinomio assume:
- valori positivi negli intervalli esterni individuati dalle due soluzioni
- valori negativi nell' intervallo interno
Quindi, dette x1 e x2le soluzioni dell'equazione e posto x1<x2, avremo che:
ax2 + bx + c > 0 per: x < x1 e x > x2.
Invece, per la disequazione: ax2 + bx + c < 0 l'insieme delle soluzioni è dato dai valori interni all'intervallo: x1 < x < x2

NOTA
Per le disequazioni con il segno di disuguaglianza debole: ax2 + bx + c≥0 e ax2 + bx + c ≤0
valgono le stesse considerazioni. L'unica differenza sta nel fatto che anche i due valori x1 e x2 sono da considerare come soluzioni (in quanto è accettabile che il polinomio si annulli). La "forma" delle soluzioni cambierà di conseguenza.
Nel primo caso avremo: x≤x1 x≥x2
Nel secondo caso: x1≤x≤x2

2) Δ=0
In questo caso abbiamo due soluzioni reali e coincidenti: x1=x2.
Il polinomio assume sempre lo stesso segno (e questo segno è lo stesso di a, cioè sempre positivo), tranne nel punto x=x1, in cui si annulla.

Attenzione: il polinomio si annulla per x=x1.
Non bisogna mai dimenticare, nel caso in cui Δ=0, di riportare, nel grafico del segno del polinomio di secondo grado, il punto x1 e di sottolineare che in questo punto il polinomio si annulla. E' una dimenticanza molto comune e che porta a degli errori, soprattutto quando inserita in un contesto specifico (studio del segno di una derivata, ecc.).
Caricamento in corso: attendere qualche istante...

4
Commenti

giacomo mercoledì, 17 agosto 2011

matematica

dovrebbe esserci un errore nel terzo caso poichè per delta<0 si ha che ax^2+bx+c>0 sempre verificata...con a,b,c>0

n° 3
Eugenia mercoledì, 14 febbraio 2007

tutto o quasi su di me..

Ho trovato il sito adatto a me!!!

n° 2
avril lunedì, 1 dicembre 2008

Re: tutto o quasi su di me..

potresti dirmi cm si fa per scrivere un mess d'aiuto'? mi sn appena iscritta..help

francesca giovedì, 14 dicembre 2006

che fortuna..!

grazie mi è proprio servito..!non sapevo da che parte iniziare e domani incombe il compito..x me la matematica è un casino!!finalmente adesso ho capito come fare!ciao

n° 1
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