La trigonometria definisce le relazioni metriche tra i lati e gli angoli di un triangolo; gli elementi di un triangolo sono sei, i lati e gli angoli, se ne sono noti tre e di questi almeno un lato, possiamo risolvere il triangolo, che significa calcolarne tutti gli altri elementi inizialmente non noti.
Per la risoluzione di un triangolo si fa riferimento alle proprietà geometriche di un triangolo qualunque, in sintesi:
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la somma degli angoli interni di un triangolo é 180°
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in un triangolo ogni lato é minore della somma degli altri due e maggiore della differenza
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le relazione di eguaglianza e diseguaglianza che vi sono fra due lati si riflettono anche fra gli angoli rispettivamente opposti, vale a dire che, detti e due lati e e gli angoli opposti a tali lati, allore se , oppure , allora vale anche , , .
Passiamo ora ad enunciare e sviluppare due teoremi fondamentali sui triangoli rettangoli.
Teorema 1
In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto é uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per il seno dell'angolo opposto ad esso o per il coseno dell'angolo acuto ad esso adiacente.
Non possiamo evitare di dare la dimostrazione del teorema che risulta molto utile per chiarirci le idee e per condurci ad una serie di risultati conseguenti molto utili.
Sia un triangolo rettangolo in e , , . Il triangolo é costruito su di un riferimento cartesiano di origine con sull'asse positivo delle ascisse.
Poi costruiamo la circonferenza di centro e raggio uguale ad 1 (circonferenza goniometrica). Sia il punto di intersezione della semiretta di origine su cui si trova l'ipotenusa con la circonferenza ed la proiezione di sull'asse .
La figura che segue illustra il triangolo e la circonferenza goniometrica che stiamo considerando
Indicato con l'angolo , Le coordinate del punto rispetto alla circonferenza goniometrica sono:
si noti che è un angolo acuto e le coordinate di , trovandosi nel primo quadrante, sono positive. Ne segue pertanto che
Osserviamo poi che i triangoli e sono simili avendo gli angoli congruenti, possiamo porre in proporzione i lati omologhi:
per la (1), sapendo che e considerando la (2) e (3) segue
Detto l’angolo in , essendo il triangolo rettangolo in , risulterà che
quindi gli angoli e sono complementari, per cui dalle proprietà delle funzioni goniometriche per gli angoli complementari, ricordiamo che
pertanto
dalle quali possiamo ancora ricavare
il che equivale a dire che in un triangolo rettangolo il seno di un angolo é uguale al rapporto tra il cateto opposto all'angolo stesso e l'ipotenusa.
Inoltre
cioé in un triangolo rettangolo il coseno di un angolo é uguale al rapporto tra il cateto adiacente all'angolo stesso e l'ipotenusa.
Ovviamente, per chiarezza, aggiungiamo
in un triangolo rettangolo l'ipotenusa é uguale al rapporto tra un cateto e il seno dell'angolo opposto o é uguale al rapporto tra un cateto e il coseno dell'angolo acuto adiacente ad esso.
Teorema 2
In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto é uguale al prodotto della misura dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo cateto o per la cotangente dell'angolo acuto adiacente al primo cateto.
In questo caso ci limitiamo a dare solo qualche passaggio della dimostrazione.
Analogamente a quanto fatto nei precedenti passaggi, dalla figura (1) possiamo ancora ricavare:
sostituendo abbiamo
ma ricordando che
e ancora per la proprietà degli angoli complementari, si ha
per cui possiamo dire che
da cui ricaviamo
ed anche
che significa dire che in un triangolo rettangolo il rapporto tra due cateti é uguale alla tangente dell'angolo opposto al primo cateto.