Il significato geometrico di derivata è un passo fondamentale per la comprensione del concetto di derivata, che insieme al concetto di integrale rappresentano una parte importante di tutta l’analisi matematica ed il calcolo infinitesimale.
Significato geometrico di derivata
Vediamo in questo paragrafo qual’è il significato geometrico di derivata.
Sia una funzione definita in un intervallo aperto, consideriamo e ( si chiama incremento) due punti di . Quando passa da a la funzione passa da a
le differenze
e
si dicono rispettivamente incremento della variabile indipendente e incremento della variabile dipendente o della funzione .
Avendo considerato come assegnato, il rapporto:
dipende da e non da , esso rappresenta l'incremento della rispetto all'incremento della variabile indipendente e prende il nome di rapporto incrementale.
Osservando la figura (1) si perviene facilmente alla seguente definizione
Definizione
Una funzione si dice derivabile in se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale in , vale a dire:
tale limite si chiama derivata prima o derivata di nel punto .
Da questa ne consegue un’altra
Definizione
Quando la funzione é derivabile in tutti i punti di si dice derivabile in un intervallo.
I simboli usati per indicare la derivata di una funzione sono diversi, alcuni sono:
Una funzione é derivabile in un punto se si verificano le seguenti condizioni:
-
la é definita in un intorno di
-
per (da sinistra e da destra) esiste il limite del rapporto (1);
-
che tale limite sia finito.
Equazione della tangente a una curva
Prendiamo ora in esame la seguente figura
fissato consideriamo la secante di equazione:
Al tendere di a zero, il punto si sposta sulla curva avvicinandosi a
Precisiamo che il rapporto incrementale di relativo a e all'incremento é il coefficiente angolare della retta passante per i punti di coordinate
Quindi possiamo scrivere
Se la é derivabile in allora esiste ed é finito il limite
pertanto il coefficiente angolare di tende a quello della retta di equazione:
Quindi la retta può considerarsi come il limite delle varie posizioni delle secanti al variare di man mano che si avvicina a lungo la curva . Ne consegue che la retta , di cui la (2) rappresenta l’equazione, è la retta tangente alla curva in .
In conclusione, da un punto di vista geometrico dire che una funzione è derivabile in significa dire che: la retta tangente al grafico di in esiste ed é unica ed inoltre essendo un numero, ne consegue che tale retta non é parallela all’asse ed il valore della derivata é uguale alla tangente goniometrica dell’angolo che viene a formarsi tra la retta tangente e la direzione positiva dell’asse , come si vede nella figura (2).