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Punti di discontinuità

I questo modulo approfondiamo il discorso della continuità di una funzione, attraverso alcune considerazioni sui punti in cui la funzione non é continua, ossia quei punti laddove non si verifica che

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Ebbene, mentre il modo con cui una funzione è continua in un punto è univoco (quello espresso dalla condizione di sopra), ciò non accade quando non lo é, ovvero vi sono più modi per una funzione di essere discontinua in un punto. In altre parole, esistono diversi tipi di punti di discontinuità.

Per chiarire tale affermazione consideriamo innanzitutto i limiti sinistro e destro nel punto Studenti/matematica:

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Si possono presentare tre casi, che affrontiamo nei seguenti paragrafi.

Discontinuità eliminabile

Se vengono soddisfatte le tre seguenti condizioni

  1. Studenti/matematica ed Studenti/matematica esistono e sono finiti

  2. Studenti/matematica

  3. Studenti/matematica

la discontinuità si dice eliminabile.

In altre parole deve verificarsi che esistono i limiti sinistro e destro e sono uguali e finiti e Studenti/matematica non esiste o non è uguale al limite; in tali casi la discontinuità é eliminabile con la condizione

Studenti/matematica
1

Esempio 1

Studiamo la discontinuità della funzione

Studenti/matematica

per il punto Studenti/matematica sono verificate le condizioni 1) e 2) in quanto abbiamo

Studenti/matematica

ed inoltre, essendo Studenti/matematica è verificata anche la condizione 3), per cui il punto Studenti/matematica è un punto di discontinuità eliminabile. Pertanto, la funzione può essere scritta nel seguente modo

Studenti/matematica

Il grafico ci conferma che la funzione risulta continua in tutto ℝ

Studenti/matematica

Discontinuità di prima specie

Se vengono soddisfatte le due seguenti condizioni

  1. Studenti/matematica ed Studenti/matematica esistono e sono finiti

  2. Studenti/matematica

la discontinuità è di prima specie. Il limiti sinistro e destro esistono ma non sono uguali e pertanto non esiste il limite Studenti/matematica. A differenza del caso precedente, in questo caso la funzione in Studenti/matematicaha un “salto” definito dalla condizione:

Studenti/matematica

Esempio 2

Studiamo la discontinuità della funzione:

Studenti/matematica

nel punto Studenti/matematica.

Poichè in tale punto la funzione non risulta definita, non Studenti/matematica.

Si ha quindi,

Studenti/matematica

e poi

Studenti/matematica

quindi, avendosi Studenti/matematica la discontinuità risulta essere di prima specie, per cui si ha il salto:

Studenti/matematica

Verifichiamo quanto detto tramite il grafico della funzione.

Studenti/matematica

Discontinuità di seconda specie

Se viene soddisfatta la seguente condizione

  1. Studenti/matematica ed Studenti/matematica non esistono o sono infiniti

la discontinuità è di seconda specie. Dei due limiti almeno uno non esiste o è infinito, pertanto non esiste il limite Studenti/matematica e non si verifica la condizione 1). Allora, quando uno dei limiti é infinito il punto di discontinuità Studenti/matematica si chiama punto di infinito. Vediamo ancora un esempio.

Esempio 3

Studiamo la discontinuità della funzione:

Studenti/matematica

nel punto Studenti/matematica.

Andiamo a verificare quanto valgono i limiti a sinistra e destra del punto Studenti/matematica.

Studenti/matematica

mentre

Studenti/matematica

Quindi essendo uno dei due limiti infinito é verificata la condizione 1) per cui possiamo dire che la funzione ha in Studenti/matematica una discontinuità di seconda specie.

Quando il dominio di una funzione continua é un intervallo, le proprietà fondamentali sono contenute in due teoremi fondamentali relativi ad essa, e possono essere riassunte come segue:

Una funzione continua in un intervallo chiuso Studenti/matematica

  1. é limitata in Studenti/matematica

  2. ammette massimo e minimo (teorema di Weiestrass)

  3. assume, almeno una volta, qualsiasi valore compreso tra il minimo Studenti/matematica e il massimo Studenti/matematica (teorema dei valori intermedi).