In questo modulo prendiamo in esame un particolare tipo di limite, partendo sempre dalla definizione formale di limite, che riportiamo qui per comodità:
Definizione
Sia , con incluso in , e ed due numeri reali. Il limite di , per é , oppure che tende ad quando tende a e scriviamo:
quando, fissato un intorno di , é sempre possibile trovare in corrispondenza ad esso, un intorno di tale che
Consideriamo il caso in cui la funzione tende verso l’infinito al tendere della variabile ad un punto finito . In questo caso dobbiamo considerare una funzione illimitata superiormente (inferiormente), per la quale scriveremo
cioè
quando
dove é il dominio della funzione con un intorno di ed un numero grande a piacere.
Nel primo caso, quando , si ha:
La figura seguente mostra un tipico esempio di funzione che ha un limite a in un punto finito .
nel secondo caso, quando , si ha invece:
Ancora, la figura seguente mostra un tipico esempio di funzione che ha un limite a in un punto finito .
NOTA:
Quando una funzione in un punto ha limite () allora la retta é un asintoto verticale della funzione. Per fare alcuni esempi, consideriamo che hanno asintoti verticali le seguenti funzioni:
-
le funzioni razionali in cui il denominatore si annulla in un punto hanno il limite infinito in tale punto
-
la funzione trigonometrica per ,
-
la funzione per .
Esempio
Consideriamo la funzione , definita e verifichiamo che
Prendiamo un numero a piacere e poniamo
ora dobbiamo cercare se esiste un δ per cui preso un intorno di 0 del tipo , si verifichi sempre la (1). Riscriviamo la disequezione come
da cui ricaviamo
poiché , abbiamo individuato il come
e quindi possiamo scrivere
Concludendo così che il limite è verificato. Visualizziamo il grafico della funzione
Esempio
Verificare che
scelto un , scriviamo
da cui
osserviamo che se allora , per cui possiamo scrivere
e dunque
la cui soluzione è
esso rappresenta un intorno sinistro di 2 con , per cui il limite è verificato.