Ampio e dettagliato studio sui limiti di funzioni reali di variabili reali e sui singoli casi esaminati (lim che tende a + infinito, a - infinito e a x)

Argomenti trattati:
- LIMITI DI FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE - GLI ASINTOTI

1a)Asintoto orizzontale per 1b) Asintoto orizzontale per
2) Asintoto verticale
3) Asintoto obliquo



ASINTOTI


Ora che si sono viste tutte le definizioni di limite e i possibili comportamenti dal punto di vista grafico, possiamo introdurre facilmente il concetto di asintoto.
L'asintoto, di qualsiasi tipo sia, è una retta a cui la funzione si "accosta". Talvolta, viene chiamata "tangente all'infinito".

Ne esistono di 3 tipi:

1a) Asintoto orizzontale per
Qualora si abbia:
la retta y= l (parallela all'asse x) è un asintoto orizzontale per la funzione quando .
Si confronti con la situazione grafica vista precedentemente quando si è definito il limite finito all'infinito.

Asintoti in generale: spiegazioni ed esercizi svolti


1b) Asintoto orizzontale per
Qualora si abbia:
la retta y= l (parallela all'asse x) è un asintoto orizzontale per la funzione quando .

Nota: la distinzione che è stata fatta per distinguere il caso dal caso può sembrare "pesante".
In realtà è piuttosto importante, perché in certi casi tali limiti non coincidono e la funzione presenta due asintoti orizzontali, uno per e uno per .

Attenzione:
questa eventualità non contraddice il teorema di unicità del limite!
Infatti, il limite continua ad essere unico: ce ne è uno (e uno solo) per e uno (e uno solo) per .
Con l'esperienza, si riuscirà a prevedere senza difficoltà i casi in cui si possono calcolare insieme questi due limiti (perché si sa che daranno lo stesso risultato e, quindi, la funzione avrà lo stesso asintoto sia per che per ) e i casi in cui è meglio calcolarli separatamente.


Matematica: spiegazioni ed esercizi del 3° anno


2) Asintoto verticale
Qualora si abbia:

la retta (verticale) x=x0 è un asintoto verticale per la funzione.
Da notare che il risultato di questo limite può venire infinito (con qualsiasi segno) sia da destra che da sinistra o anche solo da una delle due parti. In tutti i casi, è lecito parlare di asintoto verticale.
Ci sono, peraltro, casi particolari in cui da una parte il limite è finito e dall'altra è infinito, come ad esempio per f(x)=e1/x.



3) Asintoto obliquo
Questo tipo di asintoto lo puoi vedere spiegato bene nella parte dello studio delle funzioni.

Limite destro e limite sinistro

Avendone già accennato in precedenza, definiamo ora in maniera più precisa i concetti di limite destro e limite sinistro.
Esistono funzioni per le quali x0 è punto di accumulazione per il dominio X, ma X non contiene un
intorno completo di x0, oppure funzioni che hanno un comportamento diverso a seconda che ci si
avvicini ad x0 da destra o da sinistra.
E' pertanto opportuno definire:
Il primo limite analizza il comportamento della funzione in un intorno destro di x0.
Il secondo limite analizza il comportamento della funzione in un intorno sinistro di x0
Per limiti di questo tipo si possono avere gli stessi risultati ottenuti per il limite pere le definizioni analitiche di limite differiscono solo perché riferite ai rispettivi intorni (destro e sinistro), invece che ad un intorno completo di x0, come visto nelle definizioni date all'inizio di questa sezione.

Solo nel caso in cui risulti:

si può parlare di
e il risultato di tale limite coinciderà con i valori comuni dei due limiti precedenti.