I Limiti: terza parte

Di Redazione Studenti.

Ampio e dettagliato studio sui limiti di funzioni reali di variabili reali e sui singoli casi esaminati (lim che tende a + infinito, a - infinito e a x)

Argomenti trattati:
LIMITI DI FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE - GLI ASINTOTI


1) Limite finito all'infinito
; 2a) Limite a; 2b) Limite a; 3) Non esiste il limite all'infinito


1) Limite finito all'infinito; 2a) Limite a; 2b) Limite a; 3) Non esiste il limite all'infinito


1) Limite finito al finito
; 2a) Limite al finito; 2b) Limite al finito; 3) Non esiste il limite al finito

Limiti di funzioni: spiegazioni ed esercizi svolti

Limite di f (x) per x

Sia f: xR, una funzione definita su un dominio X e sia x0 punto di accumulazione per X.
Per studiare il comportamento della funzione quando x si calcola:

Si possono avere i seguenti casi:
1) Limite finito al finito
Intuitivamente equivale a dire che per x la funzione si avvicina al valore finito l.
In termini analitici, dire che f (x) si avvicina a l quando x equivale alla seguente scrittura (definizione di limite finito al finito)
La definizione è piuttosto complessa. Si legge in questo modo: "Per ogni epsilon maggiore di zero, esiste un intorno di centro x0 (e il cui raggio dipende da epsilon), tale che: per ogni valore della variabile (x) che appartiene a questo intorno (escluso al più il valore x0), si ha che la differenza in valore assoluto tra il valore della funzione calcolata in x e il valore l è minore di epsilon.
In sostanza, signfica che, quanto più mi avvicino a x0, tanto più la funzione si avvicina al valore l.

Importante: non è richiesto che la funzione sia definita in x0.
La cosa che conta è che x0 sia punto di accumulazione del dominio di f, ovvero intorno a se deve avere infiniti punti appartenenti al dominio di f (permettendo così di poter fare il limite pe rx ).
Graficamente, la situazione si presenta in questo modo x 0:


2) Limite infinito al finito
Intuitivamente, equivale a dire che per x la funzione si avvicina a. Ovvero, in corrispondenza di un certo valore finito (x0) la funzione tende ad assumere valori infinitamente grandi: quanto più mi avvicino a x0 tanto più grandi sono i valori assunti dalla funzione.
In termini analitici, dire che f (x) si avvicina a quando x equivale alla seguente scrittura (definizione di limite infinito al finito):
Graficamente, si ha una situazione di questo tipo:

Nota: il simbolo d che compare nel grafico è il raggio dell'intorno di x0, che, come detto, dipende da e, nel caso 1), mentre dipende da M in questo caso e in quello che si vedrà tra poco.

2b) Limite infinito al finito
Intuitivamente, equivale a dire che per x la funzione si avvicina a.
In termini analitici, dire che f (x) si avvicina a quando x equivale alla seguente scrittura (definizione di limite infinito al finito):
Graficamente, si ha una situazione di questo tipo: x 0


3) Non esiste il limite al finito
Succede nei casi in cui limite destro e limite sinistro sono diversi (si veda sotto) o quando in corrispondenza di x0 si ha un comportamento oscillante (come nel caso di f(x)= sen(1/x) in corrispondenza di x 0=0). Problemi con la matematica? Spiegazioni ed esercizi svolti del 5° anno