I Limiti: prima parte

Di Redazione Studenti.

Ampio e dettagliato studio sui limiti di funzioni reali di variabili reali e sui singoli casi esaminati (lim che tende a + infinito, a - infinito e a x)

Argomenti trattati:
LIMITI DI FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE - GLI ASINTOTI


1) Limite finito all'infinito
; 2a) Limite a; 2b) Limite a; 3) Non esiste il limite all'infinito


1) Limite finito all'infinito; 2a) Limite a; 2b) Limite a; 3) Non esiste il limite all'infinito


1) Limite finito al finito
; 2a) Limite al finito; 2b) Limite al finito; 3) Non esiste il limite al finito

Limiti di funzioni: definizione di limite

LIMITI DI FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE


Limite di f (x) per
Sia f: xR, una funzione definita su un dominio X superiormente illimitato.
Per studiare il comportamento della funzione quando, si calcola:
Si possono avere i seguenti casi.

1) Limite finito all'infinito:

Intuitivamente equivale a dire che per la funzione si avvicina al valore finito l.
In termini analitici, dire che f (x) si avvicina a l quando equivale alla seguente scrittura (definizione di limite finito all'infinito):
Questa va letta in questo modo: "per ogni epsilon maggiore di zero, esiste un x-epsilon, tale che (la barretta verticale si legge: tale che): per ogni valore della variabile (x) maggiore di tale x-epsilon, si ha che la differenza in valore assoluto tra la funzione calcolata in x ed l risulta minore di epsilon".
Ovvero, quanto più x è grande, tanto più il valore della funzione si avvicina a quel valore l.
Questo valore l, viene dunque ad essere il limite della funzione per x che tende a .
Graficamente, significa avere una situazione di questo tipo (è solo uno dei possibili esempi):


2a) Limite infinito all'infinito:
Intuitivamente equivale a dire che per x tendente a , la funzione si "avvicina" a (ovvero, assume valori sempre più grandi).
In termini analitici, dire che f (x) si avvicina a quando equivale alla seguente
scrittura (definizione di limite infinito all'infinito):

Graficamente, si ha una situazione di questo tipo:

A differenza del caso 1), la funzione non si "attesta" su un valore finito, quando la variabile indipendente (x) assume valori via via più grandi, ma tende ad assumere anch'essa valori sempre più grandi (nel grafico, la linea sale verso l'alto).

2b) Limite infinito all'infinito
Rispetto al caso 2a) cambia il segno del limite (ovvero, del risultato; quello a destra dell'uguale). Il limite si fa anche in questo caso per x tendente a , ovvero per valori (positivi) sempre più grandi della variabile.
Intuitivamente equivale a dire che per x tendente a , la funzione si "avvicina" a , ovvero tende ad assumere valori negativi sempre più grandi in valore assoluto (pensate a qualcosa del tipo: meno un miliardo).
In termini analitici, dire che f (x)si avvicina a quando, equivale alla seguente scrittura (definizione di limite infinito all'infinito)
Notate l'analogia con la definizione 2a).
Cambia solamente l'ultima disuguaglianza: infatti, in questo caso f(x) assume valori negativi infinitamente grandi in valore assoluto.

Graficamente, si presenta una situazione del genere:


3) Non esiste il limite all'infinito
Ci sono casi in cui il limite per di f (x) non esiste. Ovvero, non esiste un valore (finito) a cui la funzione tende (si attesta), né "scappa" via assumendo valori infinitamente grandi (positivi o negativi).
Questo è il caso di funzioni con un comportamento oscillante.
Si pensi alla funzione f(x)=sen(x). In questo caso il limite per non esiste, dal momento che la funzione continua ad oscillare tra -1 e +1, senza mai attestarsi su un valore preciso. Naturalmente, non esisterà neanche il limite per x tendente a .

Limite di f (x) per
La trattazione di questa tipologia di limiti è del tutto analoga a quella appena vista nel caso in cui x tende a . Problemi con la matematica? Spiegazioni ed esercizi svolti del 5° anno

Per cui, vediamo velocemente le definizioni e le possibili situazioni grafiche < cliccando qui ! >