Somma degli angoli interni di un triangolo

Di Alessia D'Alonzo.

Come si è pervenuti alla formulazione dei principi che sono alla base delle geometrie non euclidee? Questo speciale ci spiega l'evoluzione dei concetti che hanno rivoluzionato la matematica e la concezione dello spazio

Quanto al teorema euclideo in base al quale la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due retti, nelle geometrie non euclidee, per la diversa nozione di piano che ne sta alla base, esso viene modificato in questi termini. Per la geometria di Riemann quella somma è sempre maggiore di due retti; per quella di Lobacevskij essa è sempre minore di due retti.
La cosa non risulterà difficile se si considera un triangolo una volta disegnato su una superficie sferica (geometria di Riemann) e una volta disegnato sulla superficie esterna di una trombetta (secondo il modello della geometria di Lobacevskij); in entrambi i casi avremo un triangolo con lati curvilinei. Ma c'è di più.

A partire dall'ipotesi di Riemann si dimostra che c'è una differenza tra la somma degli angoli interni e due retti, che è definita "eccesso angolare", e che aumenta con l'ingrandirsi del triangolo. Se invece si considera il modello della geometria di Lobacevskij, esiste una differenza tra due retti e la somma degli angoli interni di un triangolo, che vien definita "difetto angolare", e che aumenta con l'ingrandirsi del triangolo.

Il modello di Felix Klein (1849-1925). In tale modello si fissa una conica K irriducibile (per comodità un'ellisse o una circonferenza) e si danno le seguenti interpretazioni dei concetti primitivi: punto è un punto interno a K; retta è una corda di K estremi esclusi; piano è l'insieme dei punti interni di K. Si costruisce un modello di geometria che soddisfa tutti gli assiomi della geometria euclidea (in una forma più moderna data da Hilbert) tranne il V e per la quale valgono le prime 28 proposizioni del I libro degli Elementi: il V postulato è quindi indimostrabile a partire dai primi quattro postulati e dalle prime 28 proposizioni, quindi è indipendente da essi; una geometria basata sui primi quattro postulati e sulle prime 28 proposizioni non presenta alcuna contraddizione logica.

Ma vediamo come si procede.
Le due rette PA e PB dividono le rette che intersecano la retta AB da quelle che non la intersecano; vi son perciò infinite rette passanti per P parallele ad AB; seguendo la dfinizione di Hilbert si chiamano però parallele le rette PA e PB, le "separatrici" delle rette parallele da quelle non parallele.Pertanto: "Per un punto esterno ad una retta passano due rette parallele alla retta data".
La geometria non euclidea in cui vale il precedente postulato al posto del V di Euclide è detta "geometria iperbolica".N.B. Un altro modello di geometria iperbolica viene sviluppato da Poincarè: in tale modello si fissa una circonferenza K; si chiama punto un punto interno alla circonferenza; si chiama retta l'insieme dei punti di una circonferenza perpendicolare a K che sono interni a K.

Un modello di geometria non euclidea ellittica
In tale geometria il V postulato di Euclide viene sostituito dal seguente:"Due rette hanno sempre un punto in comune" Come dire che per un punto esterno ad una retta non passa alcuna retta parallela alla retta data. Un modello di tale geometria si ha nella cosiddetta "geometria della sfera". In tale modello si fissa una sfera S e si definiscono nel modo seguente gli enti fondamentali: punto è una coppia di punti di S diametralmente opposti; retta è una circonferenza massima di S. E' evidente che due rette cosiffatte si intersecano sempre in un punto (una coppia di punti della sfera diametralmente opposti). Sono le geometrie che si fondano sulla negazione del quinto postulato enunciato negli Elementi di Euclide. I dettagli di questi due tipi di geometria non-euclidea sono piuttosto complessi, ma in entrambi i casi i concetti fondamentali possono essere compresi per mezzo di semplici modelli.

>> Geometria iperbolica e geometria ellittica >>
<< Karl Friedrich Gauss <<