Il V postulato di Euclide ( II parte )

Di Alessia D'Alonzo.

Come si è pervenuti alla formulazione dei principi che sono alla base delle geometrie non euclidee? Questo speciale ci spiega l'evoluzione dei concetti che hanno rivoluzionato la matematica e la concezione dello spazio

Il fatto che Euclide abbia tardato ad invocare il V postulato avvalora la congettura che già ai suoi tempi fossero sorte delle critiche intorno alla natura del postulato stesso, il meno evidente degli altri quattro, tanto che furono fatti diversi tentativi per dimostrarlo a partire dagli altri postulati Questi tentativi si protrassero per venti secoli e condussero alla conclusione dell'impossibilità di dimostrarlo in base alle suddette premesse; anzi si dimostrò la possibilità logica di geometrie in cui esso non vale (Klein, Poincaré). Dimostriamo l'equivalenza tra la forma data da Euclide e quella (forse più nota) secondo cui: Postulato 5': "Per un punto esterno ad una retta passa una sola parallela ad una retta data". Proposizione 30: "le parallele ad una stessa retta sono parallele fra loro".Dimostriamo che da postulato 5 segue il postulato 5': - se per un punto P esterno ad una retta a passassero due rette parallele ad a queste dovrebbero essere tra di loro parallele ( in base alla prop. 30); ma avendo un punto in comune, P, sono coincidenti.

Dimostriamo che dal postulato 5' segue il postulato 5:



Vogliamo dimostrare che
: se due rette tagliate da una trasversale formano angoli coniugati interni la cui somma è minore di due retti, allora le due rette si incontrano. Supponiamo che le due rette siano parallele; esiste per P una retta s tale che insieme ad a e alla trasversale r forma angoli coniugati interni supplementari; ma allora, per la prop. 28 segue che s è parallela ad a; ma anche b è parallela ad a e pertanto, per il postulato 5' s deve coincidere con b; ma allora a e b formano con la trasversale r angoli coniugati interni la cui somma è due angoli retti, mentre per ipotesi la loro somma è minore di due angoli retti; allora non può essere b parallela ad a e quindi ne segue la tesi.

Come arriva Euclide al V postulato?

Consideriamo l'angolo retto CAB; a partire dal punto B tracciamo una semiretta BD che forma con AB un angolo acuto alfa. Ci chiediamo: se prolunghiamo BD incontrerà la retta AC? Intuitivamente la risposta è affermativa ma lo stesso Euclide, malgrado gli sforzi, non riuscì a dimostrarlo. Inserisce allora la proposizione tra i postulati; la sua forma sarebbe: "Una perpendicolare ed un'obliqua alla stessa retta si incontrano". L'enunciato di Euclide è solo più generale di questo; infatti si parla di due angoli la cui somma sia minore di due angoli rettiLe dispute intorno al V postulato si possono dividere in tre fasi.

Prima fase: vede protagonisti Tolomeo, Posidonio e Gemino, Proclo, che arrivano alla sua sostituzione, più o meno esplicita, con uno equivalente.
Seconda fase
: si cerca di dimostrare il V postulato (dal 1500 in poi), ma si giunge solo ad un postulato ad esso equivalente. La presenza del V postulato senza dimostrazione sembrava un difetto gravissimo degli Elementi.
Terza fase: ci si convince dell'impossibiltà di dimostrare il V postulato e si costruiscono le prime geometrie non euclidee.

La prima idea nuova nel tentativo di dimostrare il V postulato si ha nel 1663 con J. Wallis (in figura) , ma il tentativo meglio strutturato fu quello di di P.G. Saccheri (Sanremo 1667-Milano 1773) che arrivò ad un passo dalla scoperta delle geometrie non euclidee.

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