Il V postulato di Euclide

Di Alessia D'Alonzo.

Come si è pervenuti alla formulazione dei principi che sono alla base delle geometrie non euclidee? Questo speciale ci spiega l'evoluzione dei concetti che hanno rivoluzionato la matematica e la concezione dello spazio

Euclide (330 a.C.?-275a.C.?) è considerato il più famoso matematico di tutti i tempi e la sua popolarità è dovuta soprattutto alla sua opera maggiore, "Gli elementi". L’opera si compone di 13 libri, nei quali si trova esposta sistematicamente tutta la geometria elementare. Ogni libro inizia con un gruppo di proposizioni che possono essere considerate come una specie di definizioni che servono a chiarire i concetti successivi; esse sono seguite da altre proposizioni che sono invece veri e propri problemi o teoremi: questi si differenziano fra di loro per il modo con cui vengono enunciati e la frase rituale con cui si chiudono: "come dovevasi fare" per i problemi, "come dovevasi dimostrare" per i teoremi.

I principi fondamentali esposti negli Elementi si distinguono in tre categorie: 1) termini o definizioni, 2) postulati (di natura geometrica) e 3) nozioni comuni (postulati anch'essi, ma di portata più generale).
Il I libro degli Elementi è il più poderoso ed in esso si trova praticamente tutta la geometria piana che si studia a scuola. Contiene 23 termini (pseudo-definizioni), 5 postulati e 5 nozioni comuni. I 5 postulati sono: "Si ammette di poter condurre da qualsiasi punto ad ogni altro punto una linea retta"; "e che ogni retta terminata si possa prolungare continuamente per dritto"; "e che con ogni centro e con ogni distanza si possa descrivere un circolo"; "e che tutti gli angoli retti siano uguali tra di loro"; "e che se una retta, incontrandone altri due, forma angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette prolungate continuamente si incontrano dalla parte in cui sono gli angoli minori di due retti".

Il V POSTULATO DI EUCLIDE o POSTULATO DELLE PARALLELE è quello caratteristico della geometria euclidea e da esso segue la dimostrazione dell'esistenza di almeno una parallela per un punto ad una retta data; da questo postulato e dalla proposizione 29 del I libro segue poi l'unicità della suddetta parallela. Lo stesso Euclide negli Elementi evita di usare il V postulato nelle dimostrazioni, ove sia possibile utilizzare solo i primi quattro, ad indicare che, molto probabilmente, ha cercato a lungo di dimostrarlo sulla base degli altri quattro e, non essendoci riuscito, lo ha poi inserito fra gli altri.
La prima proposizione di Euclide in cui si introduce il concetto di rette parallele, senza ancora ricorrere al V postulato, è la n. 27.



Proposizione 27
Se una retta, cadendo su due rette, fa gli angoli alterni interni uguali fra loro, le due rette saranno parallele fra loro.
Le prime 27 proposizioni del I libro degli Elementi non usano il suddetto V postulato e pertanto sono vere anche nelle geometrie non euclidee.
Proposizione 29
Una retta che cade su due rette parallele forma gli angoli alterni interni uguali fra loro, angoli corrispondenti uguali, angoli coniugati interni supplementari.


Vediamo come Euclide dimostra la prima parte di questa proposizione : "La retta EF cade sulle parallele AB e CD. Dico che essa forma gli angoli alterni interni AEF, EFD uguali fra loro. Infatti; se gli angoli AEF ed EFD non fossero uguali fra loro, allora uno di essi sarebbe il maggiore. Sia AEF. Si aggiunga ad entrambi l'angolo BEF; allora gli angoli AEF e BEF presi insieme sono maggiori della somma degli angoli EFD e BEF (nozione comune 2). Ma gli angoli AEF e BEF presi insieme sono due angoli retti, dunque gli angoli EFD e BEF presi insieme sono minori di due angoli retti; ma allora per il postulato 5 le due rette AB e CD si intersecano dalla parte di B e D; ma esse non possono incontrarsi perché sono parallele per ipotesi; ma allora l'angolo AEF non è disuguale all'angolo EFD e quindi è ad esso uguale. Come dovevasi dimostrare".
Questa teorema è la prima proposizione di "geometria euclidea" propriamente detta.

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