Le geometrie non euclidee

Di Redazione Studenti.

Fin dall'antichità si sono affrontati problemi concernenti le rette parallele. Euclide introdusse un postulato (verità geometrica indubitabile) su esse: "Due rette, tagliate da una terza, si incontrano da quella parte ove la somma degli angoli coniugati interni è minore di due angoli retti". Secondo il pensiero della matematica antica i postulati sono proprietà che non si possono dimostrare, ma possono essere verificate sperimentalmente. E il postulato di Euclide sfugge a questa possibilità, perché per effettuare la verifica dovremmo disporre di una regione illimitata.

Così vari studiosi cercarono di dimostrarlo come se si trattasse di un teorema. Un tentativo che va ricordato è quello di Gerolamo Saccheri (1677-1733), un gesuita che tentò una dimostrazione per assurdo, cioè partendo dalla negazione del postulato, sviluppò le conseguenze, sperando di trovare una contraddizione. Il frate riuscì nell’intento, ma solo grazie ad alcuni suoi errori. Il primo a studiare le conseguenze della negazione del postulato fu Gauss (1777-1853), che però ebbe il timore di pubblicare i suoi studi finendo per suscitare più dissensi che consensi. Le prime pubblicazioni in proposito sono dovute a Bolyai (1802-1860) e a Lobacevsky (1793-1856). Entrambi ipotizzarono un sistema in cui per un punto esterno ad una retta passano infinite rette parallele alla retta data, creando la geometria iperbolica. Pochi anni dopo Riemann (1826-1866) partendo dalla premessa che non esistono rette per P parallele a r, sviluppò la geometria ellittica.

Alla fine le geometrie non-euclidee, nonostante avessero lo svantaggio di essere poco intuitive e di non rendere visualizzabili le loro conseguenze logiche, riuscirono ad essere diffuse basandosi sulla geometria euclidea come modello e costruendo un nuovo tipo di geometria.

Geometria iperbolica di Klein

Felix Klein (1849-1925) definì gli enti geometrici in questo modo:

  1. Piano, la regione piana della geometria euclidea interna ad una circonferenza
  2. Punto, ciascuno dei punti euclidei interni alla circonferenza
  3. Retta, ogni corda del cerchio delimitato dalla circonferenza, estremi esclusi.

Secondo la geometria iperbolica non vale il quinto postulato, perché in qualsiasi modo si scelgano una retta r ed un punto P esterno ad essa, esistono infinite rette passanti per P che non intersecano r.

Geometria iperbolica di Poincarè

Il modello di Poincarè può essere cosi’ descritto:
Fissato in un piano euclideo una circonferenza gamma di centro O chiamiamo:

  1. Punto, ogni punto interno a gamma
  2. Piano, l’insieme dei punti interni a gamma
  3. Retta, ogni diametro della circonferenza (estremi esclusi) e ogni arco di circonferenza con gli estremi sulla circonferenza, interno alla circonferenza e ortogonale alla circonferenza e nei suoi estremi”.

Per ogni punto P del piano di Poincarè passano infinite rette, mentre si può dimostrare che per due punti distinti A e B passa una ed una sola retta; facilmente si può costatare che dato per ogni punto P non appartenente ad una retta r, passano rette che intersecano la retta r e rette che non la intersecano.

Geometria ellittica di Riemann

Georg Riemann (1826-1866) nel suo sistema definì:

  1. Piano, una superficie sferica
  2. Punto, qualsiasi coppia di punti diametralmente opposti appartenenti alla superficie sferica
  3. Retta, ciascuna circonferenza massima del nuovo piano

In questa geometria viene rispettata la proprietà che per due punti distinti passa una ed una sola retta. La geometria ellittica implica la non esistenza di rette parallele e quindi comporta la necessità di modificare altri postulati oltre a quello delle parallele.
Inoltre Riemann precisò la differenza tra l’illimitato e l’infinito. Il primo corrisponde all’estensione ed è qualitativo, il secondo è relativo alla misura ed è quantitativo. Così si può ipotizzare uno spazio illimitato e allo stesso tempo finito.

Aspetti teorici e pratici delle geometri non- euclidee:

  1. La somma degli angoli interni di un triangolo non è costante: nella geometria iperbolica è sempre minore di un angolo piatto, in quella ellittica è sempre maggiore.
  2. Se r e s sono perpendicolari ad un segmento AB, rispettivamente nei punti A e B, la distanza da r dei punti s diminuisce man mano che ci si allontana da B nella geometria ellittica, aumenta in quella iperbolica. Da questa proprietà traggono origine i due aggettivi: ellittica ed iperbolica, che tradotti dal greco significano diminuire ed aumentare.
  3. In entrambe le geometrie non-euclidee due triangoli con angoli rispettivamente uguali sono uguali. Quindi non si può parlare di similitudine.
  4. Dalla prima proprietà si evince che non esistono quadrilateri con tutti gli angoli retti . In geometria ellittica esistono però triangoli tri-rettangoli, aventi cioè tutti e tre gli angoli retti.
  5. Non valgono i teoremi di Pitagora e di Euclide.