La retta, definizioni e formule di Geometria analitica (parte III)

Di Redazione Studenti.

La retta: studio di uno degli argomenti più importanti di geometria analitica con definizioni, formule ed esempi

LA RETTA, GEOMETRIA ANALITICA - La lezione di geometria analitica sulla retta non ti è chiara e vuoi approfondire l'argomento? Hai paura di farti cogliere impreparato alla prossima interrogazione / compito in classe? Noi di Studenti.it abbiamo deciso di venirti incontro, realizzando per te dei riassunti di geometria analitica che ti aiuteranno a comprendere meglio la lezione sulla retta, con tanto di definizioni e formule. Guarda anche le altre due parti:
- La retta, definizioni e formule di Geometria analitica (parte I)
- La retta, definizioni e formule di Geometria analitica (parte II)

Inoltre, cliccando sulla nostra sezione di Matematica, potrai avere ulteriori approfondimenti e lezioni sul programma di terzo, quarto e quinto liceo!

Guarda anche:
Geometria analitica del punto e della retta: spiegazioni ed esercizi

Riassumendo:
se le due m sono diverse, le due rette sono incidenti;
- se le due m sono uguali:
- o se le due q sono uguali, le due rette sono coincidenti;
- o se le due q sono diverse le due rette sono parallele.

Considerazioni analoghe valgono nel caso si imposti il sistema con le equazioni in forma implicita. In questo caso:
• se a, b e c di una retta sono multipli secondo lo stesso coefficiente di a, b e c della seconda retta, le rette coincidono. (Caso particolare: a, b e c della prima retta sono uguali ad a, b e c della seconda).
• se solo a e b di una retta sono uguali o proporzionali ad a e b della seconda, le rette sono parallele.
• se a e b di una retta non sono legati da una relazione di proporzionalità con a e b dell'altra, le rette sono incidenti.

N.B.
Dire "multipli secondo lo stesso coefficiente" significa, ad esempio che a della prima retta è il doppio di a dell'altra retta e, contemporaneamente, b della prima retta è doppio di b dell'altra retta.

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Condizione di perpendicolarità tra rette
Due rette sono perpendicolari, ovvero sono incidenti e formano un angolo di 90°, se tra i coefficienti angolari m 1 e m 2 sussiste la relazione:

m 1 =-1/m 2

Nel caso delle rette in forma implicita, la relazione riguarda solo a e b (non c). Con questa rappresentazione, si ha che: i valori sono scambiati e uno di essi è cambiato di segno. Ovvero, se la prima retta ha a=2, b=3, la retta ad essa perpendicolare dovrà avere a=3, b=-2 (oppure: a=-3, b=2).

Fasci di rette
Per fascio di rette si intende semplicemente un insieme di rette. Esse possono essere in relazione tra loro o no e, quando lo sono, possono esserlo in vario modo. Siamo più precisi. Esistono tre tipi di fascio: proprio, improprio, casuale.
Parliamo di fascio proprio quando tutte le rette si incontrano in un unico punto.
Parliamo di fascio improprio quando tutte le rette sono tra loro parallele.
Parliamo di fascio casuale quando non esiste nessuna relazione tra le rette.
Le figure che seguono chiariscono meglio il concetto.
Rispettivamente: Fascio proprio - Fascio improprio - Fascio casuale

L'equazione di un fascio di rette ridotta in forma normale è un'equazione che ha il membro di sinistra in funzione di m (in altre parole, a sinistra dell'uguale compaiono delle m) e il membro di destra nullo (cioè 0).
Vediamo come bisogna procedere per determinare se, data l'equazione di un fascio di rette, esso è proprio, improprio o casuale.
Il procedimento da seguire è il seguente:
1) portare a destra dell'uguale tutti i termini che non contengono la m
2) a sinistra dell'uguale, raccogliere a fattor comune m
3) fare un sistema composto da due equazioni
• la prima è composta da tutto quello che è rimasto tra parentesi a sinistra dell'uguale dopo aver raccolto a fattor comune m;
• la seconda equazione è invece composta da tutto quello che ho a destra dell'uguale.
4) se nel sistema che ho appena fatto c'è qualche m, mi fermo qui e concludo che il fascio di rette è un fascio di rette casuale.
5) se invece nel sistema non ci sono m, allora lo svolgo e guardo se ha una soluzione reale (in tal caso il fascio di rette è proprio ed ha come centro un punto che ha per coordinate i valori di x e di y che determino risolvendo il sistema) o se invece è impossibile, ovvero non ha soluzioni reali (in tal caso concludo che il fascio di rette è improprio).

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- Geometria Analitica: Generalità introduttive

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