La retta, definizioni e formule di Geometria analitica (parte II)

Di Redazione Studenti.

La retta: studio di uno degli argomenti più importanti di geometria analitica con definizioni, formule ed esempi

LA RETTA, GEOMETRIA ANALITICA - La lezione di geometria analitica sulla retta non ti è chiara e vuoi approfondire l'argomento? Hai paura di farti cogliere impreparato alla prossima interrogazione / compito in classe? Noi di Studenti.it abbiamo deciso di venirti incontro, realizzando per te dei riassunti di geometria analitica che ti aiuteranno a comprendere meglio la lezione sulla retta, con tanto di definizioni e formule. Guarda anche le altre due parti:
- La retta, definizioni e formule di Geometria analitica (parte I)
- La retta, definizioni e formule di Geometria analitica (parte III)

Inoltre, cliccando sulla nostra sezione di Matematica, potrai avere ulteriori approfondimenti e lezioni sul programma di terzo, quarto e quinto liceo!

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Geometria analitica del punto e della retta: spiegazioni ed esercizi



L'equazione della retta non passante per l'origine
Cerchiamo ora di vedere qual è l'equazione di una retta che non passa per l'origine, di una retta qualsiasi. Guardate la figura che segue:

Abbiamo fatto passare una retta per un punto che si trova sull'asse delle ordinate (y) senza far passare la retta per l'origine. In quel punto la coordinata x è 0, la y è uguale a q, dato che abbiamo posto che il valore della coordinata y di quel punto fosse q.
Quindi se usassimo l'equazione appena trovata y = mx, sostituendo le coordinate di P otterremmo: q=m*0, cioè q=0, che non è vero (nel nostro disegno q è un numero positivo; in generale, è sicuramente diverso da 0 perché abbiamo detto che consideriamo rette non passanti per l'origine).
Come si può fare allora per far appartenere quel punto alla retta? Dovrei aggiungere a destra qualcosa che abbia lo stesso valore della coordinata y del punto. Questo qualcosa è proprio q, dato che abbiamo posto uguale a q la coordinata y del punto. Vediamo quindi che utilizzando l'equazione:

y = mx + q

andando nuovamente a sostituire le coordinate di P, si ottiene un'identità: q=m*0 + q, cioè q=q.

Questa nuova equazione, y=mx+q è corrispondente alla retta non passante per l'origine. E' ovvio che è valida anche se la retta passa per l'origine, è valida cioè per qualunque retta (basta porre q=0), mentre quella precedente era valida solo per quelle che passavano per l'origine.
Anche qui però si pone un problema: neanche questa equazione non rappresenta l'asse delle y, per motivi analoghi a quelli di prima.



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Matematica: spiegazioni ed esercizi svolti per il triennio

Pertanto, per concludere questa prima parte, diremo che:

y=mx+q

rappresenta l'equazione di una retta in forma esplicita.

Questa equazione non consente di rappresentare l'asse y e, più in generale, tutte le rette parallele ad esso.
m è detto "coefficiente angolare" e fornisce l'inclinazione della retta.

Valori notevoli di m:
m=0, la retta è l'asse x o una retta ad esso parallela.
m=1, la retta è la bisettrice del I° e III° quadrante o una retta ad essa parallela.
m =-1, la retta è la bisettrice del II° e IV° quadrante o una retta ad essa parallela.

Per valori positivi di m, la retta è una funzione crescente, cioè aumentando il valore della x, si ottengono valori via via più grandi per la y.
Per valori negativi di m, la retta è una funzione decrescente, cioè aumentando il valore della x, si ottengono valori via via più piccoli per la y.
(Dalla trigonometria, si sa che m è la tangente goniometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse delle ascisse (x) orientato.)
q è detto intercetta, e rappresenta, come si è visto prima, l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle ordinate (y).

L'equazione di una retta in forma implicita
Se vogliamo un'equazione che ci rappresenti qualunque retta, passante o no per l'origine e coincidente o no con l'asse delle ordinate, dobbiamo ricorrere ad un'equazione più generale. L'equazione in forma implicita:

ax + by + c = 0

è quella che fa al caso nostro. Come si vede, è un'equazione di primo grado nelle due variabili x e y.
Vediamo in che modo è legata alla precedente rappresentazione. Ricavando y, si ottiene:

y=(-a/b)*x - c/b

da cui si ricava che:

m=-a/b e q=-c/b.

Dalla rappresentazione in forma implicita, si vede anche che, ponendo b=0 si hanno tutte le rette parallele all'asse y (rette "verticali") che sono della forma:

x=-c/a

Naturalmente, nella forma implicita, a e b non possono essere contemporaneamente uguali a zero.


Relazioni tra rette
Analizzate quindi le varie equazioni che rappresentano una retta sul piano cartesiano, vediamo che relazione può sussistere tra due rette.
Diciamo subito che esse possono essere incidenti (un punto in comune), parallele (nessun punto in comune) oppure coincidenti (tutti i punti in comune).
Determiniamo quando due rette sono incidenti, quando parallele e quando coincidenti.
Per determinare il rapporto che lega due rette bisogna impostare il sistema tra le loro equazioni.
•  Se questo sistema risulta avere una soluzione reale, significa che le due rette sono incidenti e le soluzioni del sistema sono le coordinate del punto di intersezione delle due rette.
•  Se invece il sistema non ha soluzioni reali (impossibile), le due rette sono parallele.
•  Se, infine, il sistema ha infinite soluzioni reali (indeterminato), le due rette sono coincidenti.
Alcune considerazioni, basate sulla teoria dei sistemi di equazioni, ci portano a stabilire i seguenti risultati:
•  se i coefficienti angolari (m) delle due rette sono uguali, ma le q delle due rette sono diverse, allora le due rette sono parallele;
•  quando i coefficienti angolari (m) sono uguali e le due intercette (q) sono uguali, le due rette sono coincidenti;
•  quando i coefficienti angolari (m) sono diversi, le due rette sono incidenti (indipendentemente da q)

Queste non sono grandi sorprese.
m è la tangente goniometrica dell'angolo di incidenza della retta con l'asse delle ascisse.
Ovviamente a tangente diversa corrisponde angolo diverso: quindi se i due angoli di incidenza sono diversi, è ovvio che prima o poi le due rette si dovranno intersecare. Allo stesso modo, se i coefficienti angolari sono uguali, le due rette avranno la stessa inclinazione e non potranno essere incidenti: saranno coincidenti se le q sono uguali (cioè se entrambe intersecano l'asse delle ordinate nello stesso punto), saranno parallele se lo intersecano in punti diversi (cioè,se q è diverso per le due rette).

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