Studio della continuità di una funzione: III° parte

Di Redazione Studenti.

Descrizione dettagliata dello studio della continuità di una funzione: dalla funzione continua ai punti di discontinuità.

Argomenti trattati:
Definizione di funzione continua - Classificazione dei punti di discontinuità - Funzioni continue su [a,b]


Funzioni continue su [a,b]


Ora che abbiamo visto tutto ciò che c'è da sapere sulla continuità in un punto, possiamo estendere la definizione di continuità al caso di un intervallo chiuso [a,b].

Definizione:

f (x) è continua su [a,b] se è continua su ogni x di (a,b) e risulta:

Vuol dire che, com'era ovvio aspettarsi, che la funzione deve essere continua:
•  in tutti i punti interni dell'intervallo e
•  agli estremi di esso. In questi ultimi casi, si potranno fare solo il limite destro (per l'estremo inferiore dell'intervallo: a) e il limite sinistro (per l'estremo superiore dell'intervallo: b).

Funzioni continue e asintoti: definizione di continuità

Importante:
Dal punto di vista operativo, non si dovrà calcolare il limite su un'infinità di punti per verificare se la funzione è continua in un certo intervallo!
Quello che si fa, nello studio di una funzione, è di studiare il limite della funzione in corrispondenza di punti particolari (agli estremi del dominio, nei punti di accumulazione non appartenenti al dominio, oltre che all'infinito per verificare la presenza di eventuali asintoti orizzontali/obliqui: li vedremo nel dettaglio nella parte specifica dedicata allo studio di funzioni).

Altra cosa da ricordare.
Le funzioni "classiche" dell'analisi (rette, polinomi, funzioni algebriche, goniometriche, esponenziali, logaritmiche) sono continue nel loro insieme di definizione.

Si può dimostrare in modo rigoroso. A noi, quello che interessa è il risultato: quando abbiamo davanti una di queste funzioni, sappiamo che nel suo dominio è continua.

Ad esempio:
f(x)=log(x) è definita per x>0, e in questo insieme è continua.
f(x)=e x è definita su tutto l'asse dei reali, ed è continua in questo insieme.
f(x)=1/x è definita per x0, ed è continua per tutti gli x0.


Matematica: spiegazioni ed esercizi svolti


Il problema si pone quando si hanno funzioni composte, anche le più semplici.
Ad esempio:
f(x)=e 1/x: abbiamo detto che l'esponenziale è continua su tutto l'asse reale; ma qui vediamo che ad esponente non c'è solo x, ma la funzione 1/x: questa, come abbiamo visto è definita per x 0.
Ne segue che anche la funzione f(x)= e 1/x sarà definita per x0, e in questo stesso insieme sarà continua.
Bisognerà inoltre andare a studiare cosa accade nelle vicinanze di 0, facendo il limite per x tendente a 0 (che è un punto di accumulazione non appartenente al dominio).
Ecco in cosa consiste lo studio della continuità di una funzione, dunque: dopo aver stabilito il dominio della funzione, si vanno a calcolare i limiti in corrispondenza di punti che possiamo definire "critici".