Studio della continuità di una funzione: I° parte

Di Redazione Studenti.

Descrizione dettagliata dello studio della continuità di una funzione: dalla funzione continua ai punti di discontinuità

Argomenti trattati:
Definizione di funzione continua - Classificazione dei punti di discontinuità - Funzioni continue su [a,b]


FUNZIONI CONTINUE


Data f: XR.. Sia. Vale la seguente definizione.


Definizione di funzione continua
Definizione di funzione continua in un puntof (x) è continua in x 0 se:


In base alla definizione di limite, se f (x) è continua in x 0, possiamo scrivere:
Dal punto di vista intuitivo, è bene ricordare che una funzione continua è tale che è possibile disegnarne il grafico senza staccare la penna dal foglio.


Limiti notevoli: spiegazioni ed esercizi


Dal punto di vista operativo, per accertarsi che una funzione sia continua, bisogna verificare che siano verificate contemporaneamente queste 3 condizioni:

1) Il punto x 0deve essere un punto del dominio della funzione (X), ovvero, la funzione è definita in x 0 (è possibile calcolare la funzione f nel punto x 0):


2) Il limite destro e il limite sinistro (per x tendente a x 0) sono finiti e coincidono.
Ovvero, avvicinandosi dalla destra di x 0, la funzione tende a un valore limite (l) che è lo stesso valore a cui tende avvicinandosi dalla sinistra di x 0:


Matematica: spiegazioni ed esercizi svolti


3) Tale valore limite (l) del punto 2) è proprio il valore della funzione calcolata in x 0, cioè f(x 0), che, come visto al punto 1) è possibile calcolare in quanto x 0 appartiene al dominio X della funzione.

Lo studio della continuità di una funzione consiste nell'andare a vedere quale (o quali) di queste condizioni non è verificata e, sulla base di questo, classificare l'eventuale punto di discontinuità.