Equazioni di Secondo Grado - terza parte

Di Redazione Studenti.

Spiegazione delle equazioni di secondo grado con esempi pratici e chiari da seguire

Argomenti trattati:
Spiegazione Teoria
- Esempi



Prima di passare agli esempi, vediamo ancora alcune cose:

- relazioni tra le soluzioni di un equazione di secondo grado;
- classificazione delle equazioni di secondo grado sulla base della presenza/assenza dei termini che compaiono nella forma normale;
- dimostrazione della formula risolutiva.

Relazioni tra le soluzioni di un'equazione di secondo grado
Tra le due soluzioni di un'equazione di secondo grado in forma normale, x1 e x2, intercorrono le due seguenti relazioni:

x1+x2= - b/ a
x1*x2= c/ a

Le due relazioni esprimono delle proprietà molto semplici, soprattutto nel caso in cui si abbia a=1 (coefficiente di x2 uguale a uno): in questo caso, si ha che la somma delle due radici dà per risultato il coefficiente del termine di primo grado, b, cambiato di segno; il prodotto delle due radici dà per risultato il termine noto, c.
In molti casi, particolarmente semplici, è possibile con un po' di intuito risolvere un'equazione di secondo grado soltanto utilizzando queste proprietà: basterà cercare due numeri la cui somma è -b e il cui prodotto è c (siamo nel caso a=1, altrimenti è più complesso e vi consiglio di lasciare perdere perché si rischia di commettere errori).

Ad esempio, l'equazione: x2- 5x + 6=0
si può risolvere senza utilizzare la formula risolutiva: basterà cercare due numeri la cui somma è +5 e il cui prodotto è +6. Questi due numeri sono +2 e +3; quindi, le soluzioni dell'equazione sono date da: x1 =2, x2 =3
Se non ci credete, provate a risolverla con la formula risolutiva: otterrete lo stesso risultato.

Classificazione delle equazioni di secondo grado

Data l'equazione di secondo grado in forma normale, ax2+ bx + c=0:
Se b0 e c0, l'equazione è completa
Se b=0 e c0, l'equazione è incompleta ed è detta pura
Se c=0 e b0, l'equazione è incompleta ed è detta spuria

Dimostrazione della formula risolutiva delle equazioni di secondo grado
L'obiettivo di questa dimostrazione è di far vedere che, data un'equazione di secondo grado in forma normale,
ax
2 + bx + c=0 ( a0), le sue radici sono date dalla formula:


Dimostrazione:

Dividiamo per a entrambi i membri e portiamo il termine noto al secondo (ricordo che per ipotesi a0):


Aggiungendo ad ambo i membri il termine b2 /4a2 , si riesce ad ottenere, a primo i membro, lo sviluppo di un quadrato di binomio; estraendo poi la radice quadrata si ottiene la formula cercata:


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