Equazioni di Secondo Grado - seconda parte

Di Redazione Studenti.

Spiegazione delle equazioni di secondo grado con esempi pratici e chiari da seguire

Spiegazione Teoria - Esempi


ESEMPI

1° Esempio

4x2 + 27x -7= 0
= 841>0

L'equazione ammette due soluzioni reali e distinte; andiamo a calcolarle:


Per cui:
x1= - 7 e x2= 1/4


2° Esempio

49x2- 36=0
Come si vede questa è un'equazione incompleta (pura). Per risolverla non è necessario utilizzare la formula risolutiva, ma possiamo procedere in modo analogo a quello che si fa nelle equazioni di primo grado: portiamo il termine noto a secondo membro e dividiamo ambo i membri per il coefficiente di x2, in modo da isolare l'incognita:
x2 = 36/49
A questo punto per trovare le soluzioni, basterà estrarre la radice quadrata della frazione a secondo membro; dal momento che un'equazione di secondo grado ammette sempre due soluzioni, dovremo considerare sia la radice quadrata con il segno + davanti che la radice con il segno - davanti. Infatti, entrambe, elevate al quadrato danno come risultato 36/49.
Si ha pertanto:

Come si vede, si tratta di due radici reali (distinte); si poteva accertare preventivamente questo fatto, calcolando il delta. Ma, essendo un'equazione incompleta, anche in questo siamo facilitati: basta, infatti, vedere che segno ha il termine noto una volta che lo si è trasportato a secondo membro, isolando x2 al primo (con coefficiente +1 , sottinteso).
Se è positivo, si può tranquillamente estrarre la radice quadrata, che fornisce un numero reale: quindi, avremo due soluzioni reali e distinte (deduciamo che il delta è positivo).
Se è negativo, la radice quadrata non ha senso (nel campo dei numeri reali) e quindi mi trovo davanti a due soluzioni complesse (deduciamo che il delta è negativo). In questo caso, ci si può interrompere, dichiarando che l'equazione non ha soluzioni reali.
Ad esempio, se abbiamo:
x2+3=0
Portando, a secondo membro il termine noto, abbiamo:
x2= -3
La radice quadrata di -3 non ha senso nel campo dei numeri reali: l'equazione non ammette soluzioni reali (quindi, il delta è negativo, come si può verificare facilmente).

3° Esempio


Anche in questo caso ci troviamo davanti a un'equazione incompleta, ma stavolta manca il termine noto (equazione spuria).
Queste sono le più facili. Ammettono sempre due soluzioni reali e distinte di cui una è uguale a zero (per cui il delta è sempre maggiore di zero, non c'è bisogno di andare a calcolarlo).
Per risolverle, basta ricondursi a un prodotto e applicare la legge di annullamento del prodotto.
Metto in evidenza x:

Ho un prodotto di due fattori, che si deve annullare: come sappiamo, si annulla se almeno uno dei due fattori si annulla.
Cioè: oppure
La prima ci fornisce immediatamente la soluzione: x=0 (come già anticipato).

La seconda è una banale equazione di primo grado che si risolve facilmente, fornendo la seconda soluzione:

In conclusione, abbiamo le due soluzioni (reali e distinte):
4° Esempio

4x2 - 12x + 9=0
Calcoliamo il delta:
=0
Avremo due soluzioni reali e coincidenti:
x1=x2=3/2
Si noti che, in casi come questo, il trinomio a primo membro è lo sviluppo di un quadrato di binomio: nel nostro caso è lo sviluppo del quadrato di (2x-3).
Se lo si nota in anticipo, si può evitare il calcolo del delta e delle soluzioni tramite la formula risolutiva: basterà porre la base del quadrato uguale a zero e risolvere un'equazione di primo grado (nel nostro casa basta porre 2x-3=0, che fornisce la soluzione x=3/2, che avrà molteplicità 2, come visto sopra ).

5° Esempio

13x2 + 7x + 1=0
Calcoliamo il delta:
=-3<0
Il delta è negativo, pertanto l'equazione non ammette soluzioni reali.