Equazioni di Primo Grado (parte 2)

Di Redazione Studenti.

Equazioni di primo grado: spiegazione delle modalità di svolgimento


EQUAZIONI DI PRIMO GRADO - Dopo la prima parte della spiegazione sulle equazioni di primo grado, ecco la seconda ed ultima lezione. Seguendo il nostro approfondimento ed esercitandoti, siamo sicuri che il compito in classe di matematica non farà più così paura!


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Equazioni equivalenti

Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.
Cioè, se un certo valore dell'incognita è soluzione di una equazione, è soluzione anche per la seconda; e viceversa.
Esempio:
5x-3=2 e 2x+4=6 sono equivalenti perché ammettono la stessa (unica) soluzione x=1.
A questo punto, per risolvere un'equazione, si dovrà fare attenzione, nel fare i calcoli, a passare dall'equazione data a una ad essa equivalente, e da questa ad un'altra ancora equivalente, via via fino ad ottenere un'equazione in FN che, se abbiamo fatto bene i conti, rispettando i principi di equivalenza, sarà equivalente a quella iniziale. Basterà, infine, trovarne le soluzioni e saremo sicuri che queste sono soluzioni anche per quella iniziale.
Vediamo quali sono i principi di equivalenza che ci permettono di trasformare l'equazione data in una, ad essa equivalente, in FN.


Primo principio di equivalenza (di addizione e sottrazione)
Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri di una equazione una stessa espressione, contenente o no l'incognita, si ottiene un'equazione equivalente alla data.
Come importante conseguenza, si può trasportare un termine da un membro all'altro purchè lo si cambi di segno (regola del trasporto).
Ad esempio:
5x-3=2 diventa, sottraendo due ad ambo i membri, 5x-3-2=2-2, da cui l'equazione in FN: 5x-5=0.


Secondo principio di equivalenza (di moltiplicazione e divisione)
Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una equazione per una stessa espressione algebrica diversa da zero, contenente o no l'incognita, si ottiene una equazione equivalente a quella data.

Ad esempio:

Si può moltiplicare ambo i membri per 6, ottenendo: 3(3x+4)=2(5x+1).
Questa operazione consente di "eliminare" il denominatore. Questo principio ha due importanti conseguenze.
La prima è che, cambiando i segni a tutti i termini di una equazione, se ne ottiene una equivalente a quella data (significa, infatti, moltiplicare per -1 ambo i membri). La seconda è che, se tutti i termini di una equazione hanno lo stesso denominatore (non contenente l'incognita), esso può essere eliminato.
Esempio:

Si possono eliminare i denominatori, ottenendo: 3x+4=5x+1. Questa operazione di eliminazione corrisponde alla moltiplicazione per 6 ad ambo i membri.
Nota: se contiene l'incognita, il denominatore si può comunque eliminare, ma dopo aver stabilito per quali valori dell'incognita esso si annulla, facendo così perdere di significato l'operazione di divisione: questi valori non dovranno essere accettati, qualora alla fine dell'esercizio risultassero soluzioni dell'equazione.


Risoluzione delle equazioni di primo grado

Siamo ora in grado di risolvere un'equazione di primo grado. O meglio, un'equazione algebrica razionale intera di primo grado (a una incognita).
Supponiamo di aver già fatto una serie di calcoli, seguendo i principi di equivalenza, e di essere arrivati a scriverla in FN.
Consideriamola nella sua forma generale (ricorrendo a dei coefficienti letterali, dunque).
Essa sarà della forma:
ax+b=0
Applicando la regola del trasporto, otteniamo:
ax=-b
Infine, dividendo ambo i membri per a, si ottiene la soluzione:
x=-b/a
Naturalmente il coefficiente a dovrà essere diverso da zero, perché l'equazione sia determinata.
Esempio:
3x-2=0
3x=2 (regola del trasporto)
x=2/3 (dividendo ambo i membri per 3)
La soluzione dell'equazione data è: x=2/3.

Verifica

Dopo aver risolto un'equazione, è utile verificare di aver fatto bene i calcoli.
Per farlo, basterà prendere il valore (o i valori) trovato e sostituirlo all'incognita nell'equazione di partenza. Se viene un'identità (ad esempio 5=5), il valore trovato è effettivamente soluzione dell'equazione.
Nel nostro caso, sostituendo x=2/3, si ottiene: 2-2=0, che è un'identità.
Altri esempi:

Facendo il m.c.m ed eliminando il denominatore (secondo principio), si ottiene:
3x -2= 10x - 9x +2

Portando in FN, si ha:
2x - 4=0
che ammette come unica soluzione: x=2.

Vediamo un esempio di equazione impossibile:
3x - 4= 2x + x + 1
0x - 5=0
Come si vede, l'uguaglianza -5=0 non potrà mai essere verificata: l'equazione non ammette soluzioni.

Infine, il caso di equazione indeterminata:

Facendo il m.c.m. ed eliminando il denominatore:
3x - 2= 12x - 9x - 2
che in FN diventa:
0x + 0=0

Ovvero 0=0, che è sempre verificata. Qualsiasi valore della x è soluzione dell'equazione o, se si preferisce, l'equazione è soddisfatta per qualsiasi valore della x.
Quindi, l'equazione data si è rivelata essere un'identità.


Equazioni letterali di primo grado: discussione
In alcuni esercizi è richiesto di studiare una data equazione (in un'incognita, x), al variare di uno o più parametri che vi compaiono. Un parametro non è altro che una lettera, che ha la funzione di coefficiente numerico. A seconda dei particolari valori che assume, l'equazione potrà avere diversi insiemi di soluzione.
Importante: l'equazione si risolve sempre rispetto a x, ma le soluzioni dipendono dal valore del parametro.
Vediamo un esempio.

Si risolva la seguente equazione rispetto all'incognita x e si discuta al variare dei parametri b e k.
kx - b= -3(1 + 2x)
Sviluppando i passaggi e raccogliendo la x si ottiene:
kx - b= -3 - 6x
kx + 6x= b - 3
x(k+6)=b - 3

Discutiamo ora l'equazione, cioè studiamo al variare dei parametri k,b, la risolubilità dell'equazione.


L'equazione è impossibile: si avrebbe, infatti, 0=b-3 (che è diverso da zero, essendo b diverso da 3)


In questo caso l'equazione è indeterminata. Si ha: 0=0 (un'identità).


L'equazione è determinata e ammette come soluzione (unica):



Qui di seguito troverai lo studio delle equazioni di secondo grado.


Altri argomenti trattati:
- Espressione
- Identità
- Equazione
- Equazione ridotta a Forma Normale (FN)

-Grado di un'equazione

-Risoluzione di un'equazione
-
Equazioni equivalenti
- I Principio di Equivalenza (di addizione e sottrazione)
- II Principio di Equivalenza (di moltiplicazione e divisione)
- Risoluzione delle equazioni di primo grado
- Equazioni letterali di primo grado: discussione