Equazione Logaritmica

Di Redazione Studenti.

Un'equazione si dice logaritmica quando l'incognita compare soltanto nell'argomento di uno o più logaritmi.



EQUAZIONI LOGARITMICHE

L'equazione logaritmica più semplice (elementare) è del tipo:
con a>0 (a?1), b?R; x (>0) è l'incognita dell'equazione.
Per risolverla, basta riflettere sul significato del logaritmo.
Si ricorderà che loga x rappresenta l'esponente da assegnare alla base a per ottenere x.
Nell'equazione logaritmica elementare sappiamo già il "valore" di questo esponente: è b (il secondo membro). Quindi, per ottenere x, devo dare alla base a l'esponente b.
In conclusione, la soluzione è data da: x=a b.
Per risolvere un'equazione logaritmica qualsiasi conviene:

1. (quando è possibile) applicare le proprietà dei logaritmi e trasformare l'equazione data in una equivalente del tipo:



2. uguagliare le due espressioni che compaiono nell'argomento dei logaritmi (aventi la stessa base), ottenendo l'equazione:

Logaritmi: spiegazioni ed esercizi svolti


3. risolvere l'equazione.
Attenzione.
Preliminarmente, è opportuno stabilire le condizioni di esistenza dei logaritmi che compaiono nell'equazione di partenza, ponendo: argomento del logaritmo >0, per tutti i logaritmi presenti.
In questo modo, dopo aver risolto l'equazione A(x)=B(x), si potranno eventualmente scartare le soluzioni che non soddisfano quelle condizioni.
Lo vedremo meglio nell'esempio riportato sotto.
In alternativa, è possibile fare la verifica a posteriori della accettabilità delle soluzioni trovate: basterà sostituirle (una verifica per ogni soluzione) nell'equazione di partenza e vedere se una o più di esse rende negativo uno o più argomenti dei logaritmi presenti. Nel caso questo accada, la soluzione è da scartare.

E' bene tenere presente anche che in un'equazione possono comparire contemporaneamente, oltre ai logaritmi, radici (di indice pari) e denominatori.
Le condizioni di esistenza dovranno, quindi, riguardare, non solo la positività (stretta) degli argomenti dei logaritmi, ma anche il non annullamento dei denominatori e la positività dei radicandi.

Tutte
queste condizioni concorrono a decidere quali delle soluzioni trovate sono da accettare e quali, invece, da scartare.
Passiamo a vedere un esempio per chiarire quanto detto finora.

Risolviamo l'equazione:

Imponiamo le condizioni di esistenza sui logaritmi dell'equazione data, ricordando che gli argomenti devono essere strettamente positivi:

Risolvendo il sistema, si ottiene che le soluzioni dell'equazione dovranno essere maggiori di 2.
Infatti:

Risolviamo l'equazione applicando la proprietà 3) dei logaritmi e osservando che 2=log3 3 2:

Possiamo ora uguagliare gli argomenti e risolvere l'eqauzione (algebrica, razionale, fratta):

Risolvendo nel modo solito (si noti che la condizione x2 è superflua, perché "contenuta" nella condizione di esistenza stabilita all'inizio, x>2), si ha:
Resta ora da stabilire se le soluzioni trovate sono accettabili, confrontandole con 2.
Si vede facilmente (usate la calcolatrice per convincervene, se ne avete bisogno) che è minore di 2, pertanto non accettabile.
L' unica soluzione dell'equazione data è pertanto: