Calcolo combinatorio: disposizioni e permutazioni

Di Redazione Studenti.

Un approfondimento sulle disposizioni semplici, con ripetizione e sulle permutazioni semplici: definizioni e formule utili per un buon ripasso

Disposizioni Semplici
Definizione: Dati n elementi distinti, si chiama "disposizione semplice" degli elementi presi a k a k (con k minore o uguale a n), un gruppo ordinato di k degli elementi dati.

Due gruppi definiti in questo modo sono tra loro differenti se
:
sono diversi gli elementi
è diverso l’ordine degli elementi (infatti per definizione si considerano gruppi ordinati)

Il numero di disposizioni semplici di n elementi presi a k a k, Dn,k è:

Infatti se consideriamo n elementi e k posti allineati risulta che la prima posizione può essere occupata da n elementi, la seconda da n-1, perché l’elemento della prima posizione non può essere ripetuto, la terza n-2 e così fino a k, il numero delle posizioni.

Matematica: spiegazioni ed esercizi del 4° anno


Esempio:
quanti sono i numeri di tre cifre tutte diverse tra loro?
In questo caso n = 10 e k = 3 quindi:

ma in questo modo si considerano anche quelle disposizioni che contengono 0 come cifra iniziale, il che non ha senso. Quindi poiché la prima posizione non può essere occupata da uno degli elementi, allora il numero di disposizioni è dato da:

In definitiva: essendo

allora

Disposizioni con Ripetizione
Definizione: Dati n elementi distinti, si dice "disposizione con ripetizione" una disposizione degli n elementi presi a k a k (con k minore o uguale a n) in cui uno stesso elemento può comparire sino a k volte.

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Due gruppi differiscono se:
contengono elementi diversi ( e s’intende anche un numero diverso di stessi elementi)
gli elementi compaiono in ordine differente

Poiché ogni posizione può essere occupata da tutti gli elementi, e non da quelli che non hanno ancora occupato le precedenti (dato che possono ripetersi sino a k volte), risulta che il numero di disposizioni con ripetizione

(fino a k volte), cioè:

Esempio: Determinare in quanti modi possono accoppiarsi le facce di due dadi numerate da 1 a 6 (Tartaglia)
Ogni faccia del primo dado può essere accoppiata con tutte quelle dell’altro, cioè per ognuna il numero di accoppiamenti possibili con ripetizione è pari a 6, quindi in totale 36, cioè:

Permutazioni Semplici
Definizione: Dati n elementi distinti, si chiamano "permutazioni semplici" tutte le disposizioni semplici di n elementi presi a n a n.

Essendo n il numero di elementi per gruppo e dato che ogni posizione può essere occupata da tutti gli elementi che non hanno già occupato una delle precedenti risulta che il numero delle permutazioni semplici è:

Esempio: Quante sono le combinazioni ottenibili dalla permutazione delle tre lettere a , b , c ?
La prima posizione può essere occupata da tre lettere, la seconda da due, la terza dall’unica rimanente, cioè:

.