Disequazioni di Secondo Grado - quarta parte

Di Redazione Studenti.

Le disequazioni sono studiate secondo i seguenti casi:

Metodo Algebrico

a>0

a<0

Δ>0

Δ>0

Δ=0

Δ=0

Δ<0

Δ<0


Metodo Grafico



Se la disequazione data è del tipo ax2 + bx+ c > 0, la domanda è: per quali valori di x la parabola sta sopra l'asse x?

Se la disequazione data è del tipo ax2 + bx+ c < 0, la domanda è: per quali valori di x la parabola sta sotto l'asse x?

Se la disequazione data è del tipo ax2 + bx+ c ≥ 0, la domanda è: per quali valori di x la parabola sta sopra o interseca l'asse x?

Se la disequazione data è del tipo ax2 + bx+ c ≤ 0, la domanda è: per quali valori di x la parabola sta sotto o interseca l'asse x?Ecco di seguito le situazioni grafiche che si possono presentare.

1) Se Δ>0 e a >0, la situazione è la seguente:




Pertanto, se si vuole risolvere la disequazione ax2 + bx + c > 0, la soluzione sarà data dai valori della x per i quali la parabola sta sopra l'asse x, cioè, come si vede dalla figura, dagli intervalli esterni alle intersezioni tra la parabola e l'asse x: x<x1 x>x2 .
Se si vuole risolvere la disequazione ax2 + bx + c < 0, si deve considerare i valori di x per i quali la parabola sta sotto l'asse x, cioè l' intervallo interno alle intersezioni: x1 <x<x2


2) Se Δ=0 e a >0, la situazione è la seguente:




Pertanto, se si vuole risolvere la disequazione ax2 + b x+ c > 0, la soluzione sarà data da qualsiasi valore di x, purchè diverso dal punto di intersezione (x1 ):
Infatti, per ogni x la parabola sta sopra l'asse x, ma in x1 lo interseca. La disequazione, invece, ci "chiede" i valori di x per i quali la parabola è strettamente sopra l'asse x.

Se la disequazione da risolvere è ax2 + b x+ c ≥ 0, per quanto detto, la soluzione è data da tutto l'insieme dei Reali.
Consiglio, comunque, di evidenziare il punto x1 , perché in altri contesti può essere di fondamentale importanza: ricordo che in questo punto il polinomio si annulla.

Se la disequazione da risolvere è ax2 + b x+ c < 0, non ci sono soluzioni.

Se la disequazione da risolvere è ax2 + b x+ c ≤ 0, l'unica soluzione è data proprio dal punto di intersezione x1 .

3) Se Δ<0 e a >0, la situazione è la seguente:



La parabola è tutta sopra l'asse x; non ci sono punti di intersezione.

Pertanto, se la disequazione da risolvere è ax2 + b x+ c > 0 oppure ax2 + b x+ c ≥ 0, la soluzione è data da tutto l'insieme dei numeri Reali.

Se, invece, la disequazione da risolvere è ax2 + b x+ c < 0 oppure ax2 + b x+ c ≤ 0, non ci sono soluzioni.


Abbiamo visto tutti i casi di parabola con concavità verso l'alto (a >0).
Nel caso in cui a <0, i grafici si "ribaltano" e le soluzioni si "invertono".

Provate da soli a fare gli schemi grafici nei casi in cui a <0 e confrontate quello che vi viene con quanto già visto nella soluzione con il metodo algebrico.