Le disequazioni di primo grado (parte II)

Di Redazione Studenti.

Le disequazioni di primo grado: la teoria e la spiegazione delle disequazioni e dei sistemi di disequazioni di primo grado

DISEQUAZIONI PRIMO GRADO, LA TEORIA - Dopo la prima parte della spiegazione sulle disequazioni di primo grado, ecco la seconda lezione utile per prepararti al meglio al compito in classe di matematica. In questa spiegazione ci concentreremo in modo particolare sulle disequazioni di primo grado frazionarie.
Per prepararti al meglio alla verifica sulle disequazioni di primo grado, guarda anche le altre parti della spiegazione:
- Le disequazioni di primo grado (parte I)
- Le disequazioni di primo grado (parte III)
- Le disequazioni di primo grado (parte IV)

Vedi anche: Approfondimenti, lezioni ed esercizi svolti di matematica



2) Disequazioni di primo grado frazionarie
Queste si presentano nella forma:








Ovviamente si presenterà solo un caso per volta.
E' importante sottolineare che queste disequazioni sono dette frazionarie, perché l' incognita compare al denominatore. Non importa, dunque, quello che c'è al numeratore, nella definizione di disequazione frazionaria.
Nel caso che a numeratore non ci sia l'incognita (e ci siano, quindi, solo costanti, ovvero dei numeri), i calcoli saranno più semplici, ma la procedura è comunque quella che stiamo andando ad illustrare.
Ancora più importante è non farsi trarre in inganno dalla presenza di un denominatore in cui non compaia l'incognita: in questo caso la disequazione non è frazionaria e per risolverla ci si può ricondurre al caso visto sopra.
In generale, bisogna ricordarsi che la presenza dell'incognita a denominatore comporta l'esclusione a priori di un valore per l'incognita (quello che annulla il denominatore). Questo varrà anche quando si considereranno disequazioni di grado superiore e disequazioni diverse da quelle algebriche (esponenziali, logaritmiche, ecc).
Attraverso il procedimento visto nel caso delle disequazioni intere, si studiano separatamente il NUM(x) ed il DEN(x) ponendoli entrambi > 0indipendentemente dal verso della disequazione.
I risultati così trovati si pongono in una tabella contenente linee continue oppure
tratteggiate analogamente a quanto visto per le disequazioni intere: una riga riguarderà il numeratore,l'altra il denominatore.
Attenzione: stavolta il significato delle linee continue e tratteggiate sta ad indicare il segno assunto dal numeratore/denominatore nei vari intervalli in cui suddividiamo la retta, come si vedrà meglio nell'esempio.
L'insieme delle soluzioni sarà dato dal/dagli intervallo/i in cui l'intera frazione assume il segno richiesto dall'esercizio.
Vediamo in pratica come si deve fare:











Come si vede, si sono studiati separatamente numeratore e denominatore, facendo attenzione a porre il denominatore soltanto > 0, perché, ricordiamolo ancora, il denominatore di una frazione non deve mai annullarsi, pena la perdita di significato dell'operazione di divisione.
Il numeratore, in questo caso, si può porre anche uguale a zero, perché nel testo dell'esercizio è prevista questa possibilità.


Importantissimo: una frazione si annulla se e soltanto se il suo numeratore si annulla.
Quindi, nel caso particolare che a numeratore ci siano solo delle costanti, potete stare certi che la vostra frazione non si annullerà mai!

Riassumiamo:
•  studiamo separatamente numeratore e denominatore;
•  il denominatore lo pongo sempre > 0;
•  il numeratore lo posso porre anche = 0, se nel testo dell'esercizio è prevista questa possibilità; altrimenti, soltanto > 0.
Andiamo avanti con l'esercizio.
Abbiamo trovato gli intervalli in cui numeratore e denominatore sono, rispettivamente, ciascuno per conto proprio, maggiori di zero. Abbiamo detto che il numeratore si può anche annullare: naturalmente si annullerà proprio per x=5/2. Questo punto, così come x=1/4, dovrà essere opportunamente segnalato sul grafico finale.
Eccolo:









Osservazioni:
•  uso il pallino pieno per indicare che il valore corrispondente è compreso (o accettabile); ciò avviene nel caso dei simboli e ;
•  uso il pallino vuoto per indicare che il valore corrispondente non è compreso (o non accettabile);


i segni del risultato sono i seguenti:
•  + nel caso di linee entrambe tratteggiate o entrambe continue
•  – nel caso di linee diverse fra loro
Queste ultime due "regole" altro non sono che l'applicazione della regola dei segni:
+ diviso + fa +;
– diviso + fa – (e viceversa)
– diviso – fa +.
Non ci resta che dire per quali valori la disequazione di partenza è soddisfatta, ovvero "dov'è" che la frazione assegnata assume valori minori o uguali di zero. Basterà osservare il grafico finale e concludere che l'intervallo in cui "vedo" il meno è:






Ancora una volta, fate attenzione a dove mettere l'uguale: qui va solo in corrispondenza di x=5/2, per quanto già detto sopra.
L'intervallo scritto sopra è l'insieme delle soluzioni della nostra disequazione.
Si può fare una verifica: si prendono dei valori a caso interni a questo intervallo e si sostituisce alla frazione di partenza; se abbiamo fatto bene i calcoli dovrà venire un numero negativo. Se, invece, si prende un valore esterno all'intervallo delle soluzioni, sostituendo si dovrà ottenere un numero positivo. Provate.


Consulta anche gli altri argomenti trattati:
- Disequazioni di primo grado intere

- Disequazioni fattorizzate

- Disequazioni di primo grado frazionarie

- Sistemi di disequazioni di primo grado