Disequazioni esponenziali: seconda parte

Di Redazione Studenti.

Le disequazioni esponenziali (elementari) si presentano nella forma: ax > b oppure: ax < b

Nota importante.

Sia nel caso a > 1che nel caso 0 < a < 1, se b < 0 (e cioè la retta si trova nel semipiano delle ordinate negative, ossia sotto l'asse x), la disequazione:

non ammette soluzioni reali (la curva esponenziale sta sempre sopra l'asse x), mentre la disequazione:

è verificata per ogni valore reale di x.

Queste "proprietà" sono una diretta conseguenza del fatto che la funzione esponenziale, qualunque sia la base, assume sempre valori strettamente positivi (il suo codominio è R +): pertanto, risulterà sempre maggiore e mai minore di un numero negativo.


Matematica: spiegazioni ed esercizi del 4° anno


Vediamo alcuni esempi.












Notate come in quest'ultimo caso la soluzione ha verso opposto rispetto a quello della disequazione, in conseguenza del fatto che la base (1/2) è minore di 1.
Per concludere, vediamo un esempio più complesso.



Bisogna, innanzitutto, notare che la disequazione è definita per x0.

Possiamo riscriverla in questo modo, ricordando le proprietà delle potenze:




Facendo attenzione al fatto che la base è minore di 1, si dovrà risolvere la seguente disequazione (algebrica, razionale, fratta):



Disequazioni esponenziali: spiegazione ed esercizi svolti


Con semplici passaggi, si ottiene:






Studiando separatamente Numeratore e Denominatore, si ha:




Da cui, studiando il segno, si ottiene la soluzione per la nostra equazione esponenziale di partenza: