La circonferenza: spiegazioni e formule di geometria analitica

Di Redazione Studenti.

La circonferenza: studio di uno degli argomenti più importanti di geometria analitica, con formule, grafici ed esempi

LA CIRCONFERENZA, GEOMETRIA ANALITICA - Hai problemi con la geometria analitica e, in particolar modo, con la circonferenza? Hai perso la lezione del professore e proprio non riesci a capire come svolgere gli esercizi? Bene, sei nel posto giusto! Noi di Studenti.it abbiamo preparato per te questa pratica spiegazione sulla circonferenza, che ti aiuterà a non farti cogliere impreparato all'interrogazione / compito in classe sulla circonferenza!

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Vedi anche:
Equazione della circonferenza: spiegazione ed esercizi


Geometria Analitica – Le coniche
Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l'intersezione di una superficie conica con un piano.
Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di conseguenza, ricavarne l'equazione algebrica che le rappresenta nel piano cartesiano.
Lo vedremo come esempio per la circonferenza.



LA CIRCONFERENZA

La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.

Si ottiene tagliando un cono con un piano perpendicolare al suo asse.
La distanza fra ognuno dei suoi punti e il centro è il raggio della circonferenza.



Note: le coordinate del centro C (; ß) e la misura r del raggio, l'equazione della circonferenza si trova imponendo che la distanza del generico punto di coordinate (x,y) abbia distanza dal centro C pari ad r;
ovvero, elevando al quadrato: ( x - )2 + (y - ß)2 = r2
Svolgendo i calcoli nell'equazione precedente, si ottiene l'equazione canonica:
x2 + y2 + ax + by + c = 0
dove:
a = -2;
b = -2ß;
c = 2 + ß2- r2
e il quadrato del raggio è dato da: r2 = (a2/4)+(b2/4) - c


Approfondisci:
Matematica: spiegazioni ed esercizi svolti per il triennio


NOTA

Assegnata un'equazione di secondo grado in cui i coefficienti di x2 e di y2 sono uguali tra loro, non è detto che essa rappresenti sempre una circonferenza.
Infatti, l'equazione canonica su indicata rappresenta una circonferenza solo se (a 2 /4)+(b 2 /4)-c>0 cioè se il quadrato del raggio è positivo.


CASI PARTICOLARI
a=0: il centro appartiene all'asse y;
b=0: il centro appartiene all'asse x;
c=0: la circonferenza passa per l'origine degli assi.


CONDIZIONI PER INDIVIDUARE UNA CIRCONFERENZA
Per determinare l'equazione di una circonferenza è necessario determinare i tre parametri a, b, c dell'equazione generale (o canonica) di una circonferenza.
Si possono presentare i seguenti casi:
•  sono note le coordinate del centro e il raggio;
•  sono note le coordinate degli estremi di un diametro;
•  la circonferenza passa per un punto e sono note le coordinate del centro;
•  la circonferenza passa per tre punti non allineati;
•  la circonferenza passa per due punti e il centro appartiene a una retta nota;
•  sono note le coordinate del centro e la circonferenza è tangente a una retta nota.
Vediamo un esempio.
Determinare l'equazione della circonferenza che passa per A(0,3), B(-4,1), C(1,1).

Basta imporre il passaggio per i punti dati, sostituendo le loro coordinate (un punto alla volta!) nell'equazione canonica. Si mettono a sistema le tre condizioni che si trovano: sarà un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite a, b e c.
Risolto il sistema, si trovano i valori dei parametri dell'equazione canonica che individua la circonferenza che si sta cercando.

Si parte, quindi, dall'equazione canonica:
x2 + y2 + ax + by + c = 0
e si impone che sia soddisfatta dalle coordinate dei tre punti dati. Si ottiene allora il sistema:

che fornisce come soluzione:

Pertanto, la circonferenza cercata ha equazione:
x2 + y2 + 3x - 2y - 3 = 0


RELAZIONI TRA RETTA E CIRCONFERENZA
Date una retta e una circonferenza nel piano, si possono presentare tre situazioni:
- la retta è secante la circonferenza (ha due punti in comune con la circonferenza, la "taglia")
- la retta è tangente alla circonferenza (ha un solo punto in comune, la "tocca")
- la retta è esterna alla circonferenza (non hanno punti in comune)

Per determinare in che posizione si trovano retta e circonferenza, bisogna impostare il seguente sistema (in forma generale):

dove la prima equazione rappresenta una circonferenza generica, la seconda una retta generica. Ricavando una delle due variabili in funzione dell'altra nella seconda equazione, e sostituendo nella prima equazione, si ottiene un'equazione di secondo grado, le cui (eventuali) soluzioni risolvono il problema. Si possono presentare, come sappiamo dalla teoria delle equazioni di secondo grado, tre possibilità alternative:
- >0
: la retta è secante. Infatti, l'equazione ammette due soluzioni: sono le ascisse (o le ordinate, a seconda che si sia risolta un'equazione di secondo grado in x o in y) dei due punti di intersezione tra retta e circonferenza.
- =0
: la retta è tangente. Due soluzioni coincidenti, ovvero un solo punto di contatto.
- <0
: la retta è esterna. Non ci sono soluzioni reali, nessun punto di intersezione.

Approfondisci anche gli altri argomenti di Geometria Analitica:
- Geometria Analitica: Generalità introduttive

- RETTA

Le coniche:
- CIRCONFERENZA

- IPERBOLE
-
ELLISSE
- PARABOLA: Casistica - Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse x