Paradosso di Achille di Zenone

Di Micaela Bonito.

Un paradosso elaborato dal filosofo greco Zenone. Qui le possibili soluzioni, sia fisica che matematica

Percorso di approfondimento:
Paradosso di Achille di Zenone e la sua soluzione fisica

Ambito:
Fisica

Materie coinvolte:
Fisica, Matematica e Filosofia

Punto di partenza dell’approfondimento:
Nell’antichità classica il filosofo greco Zenone elaborò un paradosso. In questo approfondimento si analizzeranno le possibili soluzioni di questo paradosso a partire dalle conoscenze matematiche.

Collegamenti multidisciplinari suggeriti:
- Filosofia: La filosofia greca dei presocratici: Parmenide ed Eraclito, l’essere ed il divenire
- Matematica: le successioni e la somma di infiniti termini. Le serie in matematica

Punto di partenza dell’approfondimento: Il paradosso di Zenone
Il paradosso di Achille e la Tartaruga, del filosofo Zenone di Elea ci è giunto nella descrizione fattane da Aristotele (384-322 a.C.) nella Fisica. Riportiamo qui di seguito una sua possibile esemplificazione:
Si immagini un percorso lungo un chilometro, dal punto A al punto B. Si immagini, poi, un corridore - Achille - che parte dal punto A e corre alla velocità uniforme di un metro al secondo verso il traguardo, cioè verso il punto B. Achille deve dapprima coprire metà della distanza tra i punti A e B, raggiungendo il punto medio tra loro, che abbiamo indicato con C. Achille, quindi, deve percorrere metà della distanza che rimane tra C e il traguardo B, arrivando al punto D. Questo processo di dimezzamento continua all'infinito; infatti, indipendentemente da quanto piccola sia la distanza che rimane da coprire, essa può sempre essere divisa a metà.
Un altro modo di formularlo potrebbe essere il seguente: questa volta, oltre ad Achille nella posizione A, è presente anche una tartaruga che si trova in un punto B più avanzato rispetto a A. La domanda è: riuscirà Achille a raggiungere la tartaruga?
Immaginiamo la gara fra i due: Achille scatta veloce e in un certo tempo t raggiunge il punto in cui era la tartaruga. Ma nel frattempo, la tartaruga stessa ha percorso un certo spazio. In un baleno, Achille raggiunge il punto in cui era la tartaruga. Però essa non è più lì: sia pur di poco, ha percorso un altro spazio. Achille lo supera facilmente, ma ... ecc. ecc. Così Achille - conclude Zenone - si avvicina sempre alla tartaruga, ma non la raggiunge mai. Argomento simile al precedente è quello della dicotomia (divisione per due): se esiste un movimento da A a B, allora deve percorrere la metà di AB, la metà della metà di AB, e così via all’infinito, ma nulla può coprire un numero infinito di distanze.
Ogni segmento finito del percorso richiede una quantità finita di tempo per essere attraversato; dal momento che ci troviamo alle prese con un numero infinito di intervalli finiti, dobbiamo concludere che Achille non raggiungerà mai il traguardo (o la tartaruga nella sua seconda formulazione).
Questa domanda di Zenone è considerata un paradosso perché fa parte dell’esperienza comune, anche all’epoca dei greci, sapere che una macchina (o un carro) può raggiungere e superare una persona che si muove a piedi. E parimenti è esperienza quotidiana riuscire a raggiungere un qualunque traguardo. E’ in questo senso che questa domanda è considerata un paradosso: seguendo il ragionamento del filosofo si ottiene un risultato contro il senso comune. Cosa c'è di sbagliato nel ragionamento svolto dal filosofo?

Biografia di Zenone
Zenone è stato un filosofo vissuto nel 500 a.C. circa. Della sua vita sappiamo poco e del suo pensiero conserviamo pochi frammenti. Delle sue concezioni conosciamo qualcosa grazie soprattutto a quanto è contenuto nel dialogo platonico Parmenide, filosofo di cui Zenone si considera prosecutore. Qualcosa di Zenone è riportato da Diogene Laerzio, che nel suo Vite dei filosofi (IX, 26), racconta la valenza politica di Zenone.
Di fondamentale importanza è,inoltre, ciò che viene riportato da Aristotele che, nel suo scritto Fisica, ne confuta il pensiero.
Zenone è conosciuto soprattutto per i suoi paradossi formulati sulla base della tesi della impossibilità del moto. Oggi sono conosciuti con il nome di paradossi di Zenone. Sulle orme di Parmenide, Zenone tenta di affermare - attraverso la dialettica - le teorie di immutabilità dell'Essere, riducendo all'assurdo il suo contrario. Le tesi confutate da Zenone appartengono alle scuole filofofiche “avversarie” come, per esempio, ai Pitagorici, convinti della molteplicità dell'Essere in quanto numero, e ad Anassagora, suo contemporaneo, primo esponente della teoria dei semi, chiamati da Aristotele "omeomerie".
Discepolo di Parmenide – con il quale visita Atene e conosce Socrate – Zenone mette al servizio delle dottrine del maestro la sua notevole abilità logica, inventando una serie di argomenti volti a mettere in crisi i critici della visione parmenidea dell’universo.
Zenone utilizza per fare questo un metodo particolare: egli, nell’assumere come ipotesi le tesi dei propri avversari, e deriva da esse delle conclusioni contraddittorie o comunque inaccettabili. Se esistono molte cose, allora sono insieme simili e dissimili; se ammettiamo il movimento di una freccia, allora dobbiamo riconoscere che essa lo compie restando in ogni istante immobile ecc. Zenone è l’inventore di quello che è stato chiamato il ragionamento per assurdo: se io voglio dimostrare A, inizio a supporre che la sua negazione, non-A, sia vera e poi derivo logicamente una contraddizione a partire da essa.
Dato che tutto ciò che implica una contraddizione è falso, ho così dimostrato che non-A è falso. Quindi, per la legge logica del terzo escluso, che dice che o è vero A o è vero non-A, essendo falso non-A, ne segue che A è vero. Le aporie («strade senza uscita») di Zenone prendono dunque di mira la possibilità del mutamento e la pluralità dell’essere; forse il più noto dei suoi argomenti è quello di Achille e la tartaruga: Achille è riconosciuto come il più veloce degli eroi antichi, eppure, secondo Zenone, egli non potrà mai raggiungere una lenta tartaruga.


La soluzione fisica del paradosso:

La soluzione fisica del paradosso è estremamente semplice.
Riformuliamo il problema in maniera da avere dei calcoli più semplici (anche la modalità di risoluzione è del tutto generale):
Ipotizziamo che il “piè veloce” Achille si muova ad una velocità di 10 metri al secondo e vuole raggiungere una tartaruga che lo precede di 100 metri e si muova ad una velocità di 5 metri al secondo (quest’ultima velocità è in realtà eccessiva ma la utilizziamo per semplicità di calcolo). Dopo quanto tempo Achille raggiungerà la tartaruga?
- Risoluzione:
secondo la legge oraria del moto uniformemente accelerato si ha:
s=v0t+s0
la posizione della tartaruga sarà al tempo t:
sT=vT0*t+sT0
sA=vA*t (la posizione iniziate ST0 è zero in base ai dati del problema)

Per risolvere il sistema basta trovare il tempo t in cui la posizione di Achille e della Tartaruga sia la stessa ovvero:
sA=sT
Risolvendo il sistema si ha:
t=100 m/(10-5)m/s=20 s
Dopo 20 secondi Achille raggiungerà la tartaruga. Il paradosso utilizzando le conoscenze della fisica è risolto molto facilmente.

La soluzione matematica del paradosso:
Il problema matematico è tutto (e non è poco) nel fare la somma di infiniti termini e nel rispondere alla seguente domanda: può la somma di infiniti termini avere come risultato un numero finito?
La soluzione fisica come pure il senso comune sembrano indicare decisamente questa possibilità. Zenone si era sbagliato nel concepire le somme di serie infinite.
Talune serie infinite, infatti, come l'insieme di tutti i numeri interi pari, non ammettono una somma: si può infatti aggiungere sempre un termine ulteriore e fare quindi crescere la somma all'infinito. Se prendiamo la serie infinita dei numeri interi pari (0+2+4+6+8+10+12...) possiamo sempre accrescere la somma finale aggiungendo un altro numero.
La serie infinita appena considerata è detta divergente, in quanto la sequenza delle sue somme parziali diverge. Una serie infinita divergente non ammette una somma. Per evidenziare quanto problematico sia il concetto di somma infinita consideriamo un altro esempio, apparentemente analogo, e cioè quello della seguente somma (infinita):
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1- ...
Un matematico del XVII secolo, Guido Grandi (1671-1742) professore all'università di Pisa, evidenziò un altro problema relativo allo somma di infiniti termini precedente; egli fece, infatti, osservare il seguente fatto (paradossale), dovuto al raggruppare gli addendi in modo diverso:
1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0
In base a questo raggruppamento il risultato della somma è sia 0 che 1 !
Si vede quindi che quando si cerca di estendere alle quantità infinite il nostro modo usuale di operare con le quantità finite c'è la necessità di definire nuove regole e procedimenti, se non si vuole cadere in contraddizioni o formule prive di senso.
Consideriamo ora la serie generata dal paradosso di Zenone e vediamo come sia possibile risolverla matematicamente.
La serie può essere rappresentata così:
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32...
E' evidente che anche questa serie è infinita: infatti è sempre possibile aggiungere una frazione più piccola dimezzando la precedente.
Tale serie infinita è detta convergente, in quanto la sequenza delle sue somme parziali converge. Il limite S della sequenza delle somme parziali viene detto somma della serie In questo caso è 1: infatti, più termini vengono aggiunti alla serie e più la somma si avvicina al limite 1.
Quindi, supponendo che si muova alla velocità uniforme di un metro al secondo, possiamo concludere che Achille percorrerà il chilometro del percorso in mille secondi. L'errore nel paradosso di Zenone consiste nell'idea che la somma di un numero infinito di intervalli finiti di spazio e di tempo debba essere infinita.

Curiosità: una riformulazione del paradosso di Zenone
Il paradosso della corsa venne formulato anche in un'altra versione. Con questa seconda versione cercava di mostrare come, per Achille, fosse addirittura impossibile iniziare la corsa.
Consideriamo il fatto che Achille deve dapprima raggiungere il punto medio (C) tra il punto di partenza (A) e l'arrivo (B). E, tuttavia, prima ancora, deve raggiungere il punto medio tra A e C, e così via, all'infinito.
Tra due punti qualunque, in un continuo, esiste sempre una infinità di punti. Achille, dunque, non può mai lasciare il punto di partenza, in quanto non esiste un punto immediatamente successivo. Siamo di fronte di nuovo alla medesima serie infinita e il limite è ancora 1.
Le considerazioni precedenti ci indicano che Zenone con questo paradosso era entrato nel vivo di un problema matematico di non facile soluzione: aveva segnalato la difficoltà di essere rigorosi nei ragionamenti riguardanti l'infinito, mostrando come anche nozioni di uso comune potessero racchiudere una grande complessità e come la loro matematizzazione fosse un'opera molto ardua.